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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Betrachte folgende beiden teilräume von [mm] \IR^4
[/mm]
W= [mm] <\vektor{1\\2\\0\\0} ,\vektor{1\\3\\0\\0}>
[/mm]
W' = [mm] <\vektor{0\\1\\1\\2} [/mm] , [mm] \vektor{1\\2\\2\\5}>
[/mm]
Zeige W [mm] \oplus [/mm] W' = [mm] \IR^4 [/mm] |
Hallo,
[mm] \vektor{1\\2\\0\\0},\vektor{1\\3\\0\\0},\vektor{0\\1\\1\\2} ,\vektor{1\\2\\2\\5} [/mm] schreibe ich in einer matrix.
Nun habe ich Spaltenumformungen gemacht und kam auf den rank =4. Also hat die Matrix 4 linear unabhängige Spaltenvektoren -> da [mm] dim(\IR^4)=4 [/mm] sind die linear unabhängige Vektoren automatisch eine Basis von [mm] \IR^4
[/mm]
dim(W)=2
dim(W')= 2
dim(W) + dim(W')= [mm] dim(\IR^4) [/mm] = 4
Dann ist W + W'= [mm] \IR^4 [/mm] äquivalent zu W [mm] \cap [/mm] W' = [mm] \{0\} [/mm] nach Korollar der Vorlesung.
Passts=?
Noch eine Frage:
Wenn W= [mm] <\vektor{1\\2\\0\\0 } ,\vektor{1\\3\\0 \\0}> [/mm] so angegeben ist, heißt dass dann dass die beiden vektoren W aufspannen oder das sie eine Basis von W sind. Natürlich könnte man nachprüfen ob die linear unabhängig sind, ich weiß. Aber mir gehts um die SChreibweise. Wenn das so in der Angabe steht.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Sa 25.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig.
allerdings dim(W')= 2
dim(W) + dim(W')= $ [mm] dim(\IR^4) [/mm] $ = 4
ist nur richtig weil die Vektoren von W und W' lin unabh. sind.
Die Schreibweise
W= $ [mm] <\vektor{1\\2\\0\\0 } ,\vektor{1\\3\\0 \\0}> [/mm] $ bedeutet, dass W davon aufgespannt wird, nur wenn die Vektoren lin unabh. sind bilden sie dann auch ne Basis. in <...> könnten auch noch ein paar weitere lin abh, Vektoren stehen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
danke perfekte antwort ;)
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