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| Aufgabe | Ermittle die innere Funktion der folgenden Funktionen und erkläre den Einfluss der inneren Funktion durch zeichnen von Graphen.
a) f(x)= [mm] \wurzel{x-7} [/mm]
b) [mm] sin(x^2) [/mm]
c) f(x)= [mm] (\bruch{5}{x})^3 [/mm] |
Guten Tag,
innere Funktion von a)
g(x)= x-7
Einfluss: Durch die Wurzel gilt x>7, da man von negativen Zahlen und von 0 nicht die Wurzel ziehen kann. Bei der inneren Funktion gilt das nicht (richtig so?)
b)
innere funktion: [mm] g(x)=x^2
[/mm]
Was es für einen Einfluss hat, weiß ich nicht genau...
c)
innere Funktion [mm] \bruch{5}{x}
[/mm]
Den Einfluss versteh ich auch nicht ganz.
Habs schon auf meinem Grafiktaschenrechner eingegeben als Graphen, weiß jedoch nicht was man da genau beachten soll.
Bitte um Hilfe und eventuelle Lösungsvorschläge
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> Ermittle die innere Funktion der folgenden Funktionen und
> erkläre den Einfluss der inneren Funktion durch zeichnen
> von Graphen.
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> a) f(x)= [mm]\wurzel{x-7}[/mm]
> b) [mm]sin(x^2)[/mm]
> c) f(x)= [mm](\bruch{5}{x})^3[/mm]
> Guten Tag,
>
> innere Funktion von a)
>
> g(x)= x-7
>
> Einfluss: Durch die Wurzel gilt x>7, da man von negativen
> Zahlen und von 0 nicht die Wurzel ziehen kann. Bei der
> inneren Funktion gilt das nicht (richtig so?)
>
Das ist sicherlich schon mal eine ganz wichtige Erkenntnis, durch die -7 wird der Definitionsbreich eben noch einmal ein wenig eingeschränkt. Da es aber in der NAtur der Wurzelfunktion liegt, einen "halben" Definitionsbreich zu haben, ist die -7 eigentlich nicht so furchtbar wichtig bzw sie stellt ja nur eine Verschiebung um -7 auf der y- Achse dar. Ansonsten geht es eher darum, dass sich die innere Funktion eben wie eine Gerade verhält und die Wurzelfunktion damit im Vergleich zu [mm] \wurzel{x} [/mm] eben fast identisch verläuft, also ok die Erklärung ist hier nicht sooo toll, aber bei [mm] x^3 [/mm] sieht man es besser, wie gesagt, es handelt sich ja nur um eine y-Achsen-Verschiebung
> b)
>
> innere funktion: [mm]g(x)=x^2[/mm]
Hier haben wir doch schon eine deutlich bessere Veränderung. Denn das [mm] x^2 [/mm] bewirkt ja zum einen, dass die Werte wesentlich größer sind, als bei $ sin(x) $, und zum anderen werden eben negative Werte zu positiven umgewandelt, weil sie immer ins Quadrat gesetzt werden. Wenn du dir also den Graphen von $ [mm] sin(x^2) [/mm] $ anschaust, was du bei all diesen AUfgaben dringlichst tun solltest, stellst du fest, dass der Graph erstens y-Achsen-Symmetrie besitzt und zweitens wesentlich enger/steiler verläuft als sin(x). Das ist eben durchaus eine gewichtige Veränderung und leitet sich nur vom kleinen Quadrat ab :)
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> Was es für einen Einfluss hat, weiß ich nicht genau...
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> c)
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> innere Funktion [mm]\bruch{5}{x}[/mm]
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> Den Einfluss versteh ich auch nicht ganz.
Auch hier haben wir es mit einer gewichtigen Veränderung im Gegensatz zu [mm] x^3 [/mm] zu tun. [mm] x^3 [/mm] alleine ist eine Funktion, die im Unendlichen auch gegen Unendlich verläuft, also den gesamten Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] aufweist. 1/x ist jedoch eine Funktion, die eine Hyperbel aufweist und eine konvergente Folge darstellt, also gegen 0 strebt. Dieses Verhalten wird natürlich durch [mm] x^3 [/mm] noch beschleunigt! Die innere Funktion kehrt also sozusagen den Graphen komplett um! Aus einer [mm] x^3-Funktion, [/mm] die aus dem negativ Unendlichen kommt und ins positiv Unendliche anwächst macht die innere Funktion eine neue FUnktion, deren Graphen plötzlich gegen 0 strebt und sich an die x-Achse anschmiegt! 5/x bewirkt also, dass der Graph Asymptoten bekommt
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> Habs schon auf meinem Grafiktaschenrechner eingegeben als
> Graphen, weiß jedoch nicht was man da genau beachten
> soll.
Vergleiche doch immer Ausgangsgraph und Zielgraph, wie gesagt, betrachte:
$ [mm] \wurzel{x} [/mm] <=> [mm] \wurzel{x-7} [/mm] $
$ sin(x) <=> [mm] sin(x^2) [/mm] $
$ [mm] x^3 [/mm] <=> [mm] (\bruch{5}{x})^3 [/mm] $
> Bitte um Hilfe und eventuelle Lösungsvorschläge
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