Innere Extremstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Bestimmmen Sie f¨ur die folgenden reellen Funktionen die inneren kritischen Punkte auf den
angegebenen Definitionsbereichen A und alle absoluten Extremstellen in A. Geben Sie jeweils
an, aufgrund welcher ¨Uberlegungen (z. B. Satz vom Maximum und Minimum, Verhalten der
Funktion im Unendlichen,...) Sie die Existenz bzw. Nichtexistenz von Extremstellen gefolgert
haben.
Rückfragen hab ich bei folgender Funktion g: [mm] B^3 \to \IR [/mm] mit (x,y,z) [mm] \mapsto xy(1-x^2-y^2-z^2)
[/mm]
(B ist bei uns die Abgeschlossene kugel) |
Dann wähle ich [mm] g(x,y,z)=1-x^2-y^2-z^2 [/mm] = 0 als implizite Beschreibung des Randes der Kugel.
Nun hab ich folgendes berechnet:
[mm] \nabla [/mm] f(x,y,z)= [mm] \vektor{y-3x^2-y^3-yz^2 \\ x-x^3-3y^2x-xz^2 \\ -2zxy}
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] g(x,y,z)= [mm] \vektor{-2x \\ -2y \\ -2z}
[/mm]
Aus [mm] \nabla [/mm] f(x,y,z)= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ergeben sich folgende drei Gleichungen:
(I) [mm] y-3x^2-y^3-yz^2 [/mm] = 0
(II) [mm] x-x^3-3y^2x-xz^2 [/mm] = 0
(III) -2zxy = 0
=> Einzige kritische Stelle ist bei (0,0,0) [mm] \in B^3
[/mm]
Zur bestimmung der Randstellen setze ich nun [mm] \nabla [/mm] f(x,y,z) [mm] =\lambda\nabla [/mm] g(x,y,z) und g(x,y,z) = 0
Dann hab ich die vier Gleichungen:
(I) [mm] y-3x^2-y^3-yz^2 [/mm] = [mm] -2\lambda [/mm] x
(II) [mm] x-x^3-3y^2x-xz^2 [/mm] = [mm] -2\lambda [/mm] y
(III) -2zxy = [mm] -2\lambda [/mm] z
(IV) [mm] 1-x^2-y^2-z^2 [/mm] = 0
Aus der dritten Gleichung ergibt sich z=0 oder [mm] \lambda=xy
[/mm]
1.Fall [mm] \lambda [/mm] = xy
(I) [mm] y-3x^2y-y^3-yz^2 [/mm] = -2x^2y
[mm] \gdw y-x^2y-y^3-yz^2 [/mm] = 0
[mm] y(1-x^2-y^2-z^2)=0
[/mm]
(II) [mm] x-x^3-3y^2x-xz^2=-2xy^2
[/mm]
[mm] \gdw x-x^3-y^2x-xz^2=0
[/mm]
[mm] x(1-x^2-y^2-z^2)=0
[/mm]
Also muss x=y=0 sein, oder aber [mm] (1-x^2-y^2-z^2). [/mm] Nur weiss ich mit [mm] (1-x^2-y^2-z^2) [/mm] nichts so recht anzufangen, dafür gäbe es ja gut 6 Fälle.
Muss ich die alle aufzählen ?
Also x=y=0 und [mm] z=\pm [/mm] 1
x=z=0 und [mm] y=\pm [/mm] 1
z=y=0 und [mm] x=\pm [/mm] 1
Aber aus (IV) folgere ich
[mm] z^2=1-x^2-y^2 [/mm] = 1.
Also wäre meien erster Randkandidat (0,0,1),(0,0,-1), (0,1,0), (0,-1,0), (1,0,0) und (-1,0,0) ?
Kann mir jemand ein feedback geben, dass wäre ganz gut.
Ich bin mir nämlich total unsicher was die Aufgabe angeht.
Für hilfe wäre ich sehr dankbar,
mfg Lé Frog :)
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Hallo Frosch20,
> Bestimmmen Sie f¨ur die folgenden reellen Funktionen die
> inneren kritischen Punkte auf den
> angegebenen Definitionsbereichen A und alle absoluten
> Extremstellen in A. Geben Sie jeweils
> an, aufgrund welcher ¨Uberlegungen (z. B. Satz vom
> Maximum und Minimum, Verhalten der
> Funktion im Unendlichen,...) Sie die Existenz bzw.
> Nichtexistenz von Extremstellen gefolgert
> haben.
>
> Rückfragen hab ich bei folgender Funktion g: [mm]B^3 \to \IR[/mm]
> mit (x,y,z) [mm]\mapsto xy(1-x^2-y^2-z^2)[/mm]
>
> (B ist bei uns die Abgeschlossene kugel)
>
> Dann wähle ich [mm]g(x,y,z)=1-x^2-y^2-z^2[/mm] = 0 als implizite
> Beschreibung des Randes der Kugel.
>
> Nun hab ich folgendes berechnet:
>
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y,z)= [mm]\vektor{y-3x^2-y^3-yz^2 \\ x-x^3-3y^2x-xz^2 \\ -2zxy}[/mm]
>
>
> [mm]\nabla[/mm] g(x,y,z)= [mm]\vektor{-2x \\ -2y \\ -2z}[/mm]
>
> Aus [mm]\nabla[/mm] f(x,y,z)= [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ergeben sich
> folgende drei Gleichungen:
>
> (I) [mm]y-3x^2-y^3-yz^2[/mm] = 0
>
> (II) [mm]x-x^3-3y^2x-xz^2[/mm] = 0
>
> (III) -2zxy = 0
>
> => Einzige kritische Stelle ist bei (0,0,0) [mm]\in B^3[/mm]
>
> Zur bestimmung der Randstellen setze ich nun [mm]\nabla[/mm]
> f(x,y,z) [mm]=\lambda\nabla[/mm] g(x,y,z) und g(x,y,z) = 0
>
> Dann hab ich die vier Gleichungen:
>
> (I) [mm]y-3x^2-y^3-yz^2[/mm] = [mm]-2\lambda[/mm] x
>
> (II) [mm]x-x^3-3y^2x-xz^2[/mm] = [mm]-2\lambda[/mm] y
>
> (III) -2zxy = [mm]-2\lambda[/mm] z
>
> (IV) [mm]1-x^2-y^2-z^2[/mm] = 0
>
> Aus der dritten Gleichung ergibt sich z=0 oder [mm]\lambda=xy[/mm]
>
> 1.Fall [mm]\lambda[/mm] = xy
>
> (I) [mm]y-3x^2y-y^3-yz^2[/mm] = -2x^2y
>
> [mm]\gdw y-x^2y-y^3-yz^2[/mm] = 0
>
> [mm]y(1-x^2-y^2-z^2)=0[/mm]
>
> (II) [mm]x-x^3-3y^2x-xz^2=-2xy^2[/mm]
>
> [mm]\gdw x-x^3-y^2x-xz^2=0[/mm]
>
> [mm]x(1-x^2-y^2-z^2)=0[/mm]
>
> Also muss x=y=0 sein, oder aber [mm](1-x^2-y^2-z^2).[/mm] Nur weiss
> ich mit [mm](1-x^2-y^2-z^2)[/mm] nichts so recht anzufangen, dafür
> gäbe es ja gut 6 Fälle.
> Muss ich die alle aufzählen ?
>
Betrachte doch zuerst Gleichung (IV).
Für welche x,y,z sind dann die Gleichungen (I) und (II) erfüllt?
> Also x=y=0 und [mm]z=\pm[/mm] 1
> x=z=0 und [mm]y=\pm[/mm] 1
> z=y=0 und [mm]x=\pm[/mm] 1
>
> Aber aus (IV) folgere ich
>
> [mm]z^2=1-x^2-y^2[/mm] = 1.
>
> Also wäre meien erster Randkandidat (0,0,1),(0,0,-1),
> (0,1,0), (0,-1,0), (1,0,0) und (-1,0,0) ?
>
Da musst Du nochmal nachrechnen.
> Kann mir jemand ein feedback geben, dass wäre ganz gut.
> Ich bin mir nämlich total unsicher was die Aufgabe
> angeht.
> Für hilfe wäre ich sehr dankbar,
> mfg Lé Frog :)
Gruss
MatehePower
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