Innenwinkel ebenes Viereck < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Fr 21.11.2008 | | Autor: | mathemak |
| Aufgabe | Ein Viereck hat die Eckpunkte O$( 0 [mm] \mid [/mm] 0 [mm] \mid [/mm] 0)$, P$(2 [mm] \mid [/mm] 3 [mm] \mid [/mm] 5)$, Q$( 5 [mm] \mid [/mm] 5 [mm] \mid [/mm] 6)$ und R$(1 [mm] \mid [/mm] 4 [mm] \mid [/mm] 0$.
Berechnen Sie die Längen der Seiten und die Größe der Innenwinkel des Vierecks OPQR! |
Die Aufgabe lässt offen, dass das Viereck nicht konvex ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie berechne ich den überstumpfen Winkel oder besser gefragt, wie erahne ich, welcher Winkel der überstumpfe ist?
Ich kann die Trägerebene von OPQR jeweils durch die Trägergeraden der Seiten des Vierecks in Halbebenen zerlegen und die Lage des weiteren Punktes ermitteln und anschließend etwas über die Art des Innenwinkels schließen.
Aber die Aufgabe ist aus einem Schulbuch.
Vielen Dank für die Tipps!
mathemak.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 21.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Löse die Aufgabe doch über die Seitenvektoren
Also:
[mm] \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QR} [/mm] und [mm] \overrightarrow{RO}
[/mm]
Und jetzt berechne die Schnittwinkel dieser Vektoren und deren Länge und du hast die Aufgaben gelöst.
(Tipp, fang mit der Länge an, dann ist das mit den Schnittwinkeln einfacher)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 21.11.2008 | | Autor: | mathemak |
> Hallo
>
> Löse die Aufgabe doch über die Seitenvektoren
>
> Also:
>
> [mm]\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QR}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{RO}[/mm]
>
> Und jetzt berechne die Schnittwinkel dieser Vektoren und
> deren Länge und du hast die Aufgaben gelöst.
> (Tipp, fang mit der Länge an, dann ist das mit den
> Schnittwinkeln einfacher)
Wenn es so einfach wäre, hätte ich es nicht in die Uni-Abteilung gepostet.
[mm] $\cos(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|}$
[/mm]
wird m.E. bei dem überstumpfen Winkel nichts nutzen.
Gruß und Danke!
mathemak
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also ich würd das so machen:
Winkel herkömlich ausrechnen und alle als <180° nehmen, dann schaun wieviel zur winkelsumme 360° fehlt. Dann muss der Winkel überstumpf sein bei dem die differenz [mm] (360°-\alpha)-\alpha=dem [/mm] ist was dir zu 360 fehlt.
Das ist eher eine art ausprobieren aber es sollte funktonieren zumindest bei den vierecken wo nur ein winkel überstumpf ist!
Bsp:
[mm] \alpha=150°
[/mm]
[mm] \beta=30°
[/mm]
[mm] \gamma=\delta=30°
[/mm]
du weißt es fehlen noch 60° zu der WS 360°
also kann es nur sein das aplha überstumpf ist
somit [mm] \alpha=210°
[/mm]
da 210°-150°-150°=60°
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Fr 21.11.2008 | | Autor: | mathemak |
> also ich würd das so machen:
> Winkel herkömlich ausrechnen und alle als Spitz nehmen,
> dann schaun wieviel zur winkelsumme 360° fehlt. Dann muss
> der Winkel stumpf sein bei dem die differenz
> [mm](360°-\alpha)-\alpha=dem[/mm] ist was dir zu 360 fehlt.
> Das ist eher eine art ausprobieren aber es sollte
> funktonieren zumindest bei den vierecken wo nur ein winkel
> stumpf ist!
>
> Bsp:
> [mm]\alpha=150°[/mm]
> [mm]\beta=30°[/mm]
> [mm]\gamma=\delta=30°[/mm]
> du weißt es fehlen noch 60° zu der WS 360°
> also kann es nur sein das aplha stumpf ist
> somit [mm]\alpha=210°[/mm]
> da 210°-150°-150°=60°
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] 150^\circ$ [/mm] ist nicht spitz, sondern stumpf.
Vielen Dank für den Versucht.
Keine Regel, da ein Gegenbeispiel. Meine Aufgabe.
Wenn ich alle Winkel als spitz annehme (das erreiche ich ja durch den Betrag), dann habe ich insgesamt [mm] $180^\circ$. [/mm]
Das scheitert am "überstumpfen" Winkel.
Danke!
Gruß
mathemak
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sorry hab stumpf mit überstumpf verwechselt!
hab meine Antwort bearbeitet.
Wahrscheinlcih kannst du immer noch nichts damit anfangen aber ich glaub für die schule ist eine solche aufgabe sowieso nicht geeignet auch wenn sie im buch steht!
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also ich würd das aaufjedenfall so machen das wenn die WS nicht 360° ich schau von welchem winkel ich den gegenwinkel [mm] (360°-\alpha) [/mm] nehme damit ich auf 360° komm.
Es gibt ja maximal einen überstumpfen Winkel im Viereck somit geht das ja einfach!
Ich habs grad an nem eignen beispiel im [mm] R^{2} [/mm] ausprobiert also sollte es im Dreidimensionalen auch funktioniern außer das viereck ist nicht eben!
LG
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Sa 22.11.2008 | | Autor: | mathemak |
Hallo Marcel!
So funktioniert es.
Die Aufgabe hält sich schon seit Jahren in den Büchern dieses Verlages.
Cut & Paste.
Vielen Dank!
mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 So 23.11.2008 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Diese Methode führt uns dann zum Erfolg, wenn der Cosinus einen negativen Wert liefert, [mm] d.\, [/mm] h. wenn es einen Winkel [mm] $\eta$ [/mm] mit [mm] $90^\circ [/mm] < [mm] \eta [/mm] < [mm] 180^\circ$ [/mm] gibt. Liegt der überstumpfe Winkel zwischen [mm] $180^\circ$ [/mm] und [mm] $360^\circ$, [/mm] so erhalten wir wieder einen positiven Cosinuswert (bei allen Winkeln). Dazu verändern wir die Koordinaten des Punktes Q zu [mm] Q$\left( 6 \mid 2 \mid -\frac{16}{5}\right)$. [/mm] Q ist damit immer noch in der Ebene $E$, festgelegt durch O, P und R enthalten.
Und der Winkel bei P beträgt dann rund [mm] $309^\circ$.
[/mm]
Da sind alle per Vektoren berechneten Winkel kleiner als [mm] $90^\circ$. [/mm]
Könnte ich mal Dein Beispiel haben?
Gruß
mathemak
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| Aufgabe | Ein Viereck hat die Eckpunkte O[mm]( 0 \mid 0 \mid 0)[/mm], P[mm](2 \mid 3 \mid 5)[/mm],
Q[mm]( 5 \mid 5 \mid 6)[/mm] und R[mm](1 \mid 4 \mid 0[/mm].
>
> Berechnen Sie die Längen der Seiten und die Größe der
> Innenwinkel des Vierecks OPQR! |
> Die Aufgabe lässt offen, dass das Viereck nicht konvex ist.
Mit den oben angegebenen Koordinaten wäre das Viereck
nicht einmal eben. Und damit verlöre sogar der Begriff
"Innenwinkel" seinen Sinn !
Mit R(1/4/9), wie man aus der Figur entnimmt, ist es
ein ebenes Viereck.
> Wie berechne ich den überstumpfen Winkel oder besser
> gefragt, wie erahne ich, welcher Winkel der überstumpfe
> ist?
Eine mögliche Idee wäre, ein ebenes orthonormiertes (*)
Koordinatensystem in der Ebene des Vierecks einzuführen
oder, was im Prinzip dasselbe ist, die Ebene durch eine
geeignete Drehung in eine Koordinatenebene überzuführen
(analog zum Umklappen in der darstellenden Geometrie).
Dann kann man die Winkel als orientierte Winkel zwischen
aufeinander folgenden Seitenvektoren bestimmen.
Was bei dem Viereck "innen" und "aussen" ist, ergibt sich
dann aus dem Satz über die Innenwinkelsumme.
Dieses Verfahren würde auch für beliebige ebene
Polygone funktionieren, ist allerdings etwas aufwendig.
(*) orthonormiert (Achsen normal zueinander, gleich
lange Grundvektoren) muss es sein, weil andernfalls,
bei beliebigem affinen Koordinatensystem die Winkel
verzerrt würden.
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Sa 22.11.2008 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
> Ein Viereck hat die Eckpunkte O[mm]( 0 \mid 0 \mid 0)[/mm], P[mm](2 \mid 3 \mid 5)[/mm],
> Q[mm]( 5 \mid 5 \mid 6)[/mm] und R[mm](1 \mid 4 \mid 0[/mm].
> >
> > Berechnen Sie die Längen der Seiten und die Größe der
> > Innenwinkel des Vierecks OPQR!
>
> > Die Aufgabe lässt offen, dass das Viereck nicht konvex
> ist.
>
> Mit den oben angegebenen Koordinaten wäre das Viereck
> nicht einmal eben. Und damit verlöre sogar der Begriff
> "Innenwinkel" seinen Sinn !
> Mit R(1/4/9), wie man aus der Figur entnimmt, ist es
> ein ebenes Viereck.
>
Sorry. Ein Tippfehler. Du hast es korrekt aus der Zeichnung abgelesen.
> > Wie berechne ich den überstumpfen Winkel oder besser
> > gefragt, wie erahne ich, welcher Winkel der überstumpfe
> > ist?
>
> Eine mögliche Idee wäre, ein ebenes orthonormiertes (*)
> Koordinatensystem in der Ebene des Vierecks einzuführen
> oder, was im Prinzip dasselbe ist, die Ebene durch eine
> geeignete Drehung in eine Koordinatenebene überzuführen
> (analog zum Umklappen in der darstellenden Geometrie).
> Dann kann man die Winkel als orientierte Winkel zwischen
> aufeinander folgenden Seitenvektoren bestimmen.
> Was bei dem Viereck "innen" und "aussen" ist, ergibt sich
> dann aus dem Satz über die Innenwinkelsumme.
>
> Dieses Verfahren würde auch für beliebige ebene
> Polygone funktionieren, ist allerdings etwas aufwendig.
>
> (*) orthonormiert (Achsen normal zueinander, gleich
> lange Grundvektoren) muss es sein, weil andernfalls,
> bei beliebigem affinen Koordinatensystem die Winkel
> verzerrt würden.
>
Das werde ich mal angehen. Kommt mir irgendwoher bekannt vor. Ich krame mal in meinen alten Unterlagen.
vielen Dank!
Gruß
mathemak
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> > Eine mögliche Idee wäre, ein ebenes orthonormiertes (*)
> > Koordinatensystem in der Ebene des Vierecks einzuführen
> > oder, was im Prinzip dasselbe ist, die Ebene durch eine
> > geeignete Drehung in eine Koordinatenebene überzuführen
> > (analog zum Umklappen in der darstellenden Geometrie).
> > Dann kann man die Winkel als orientierte Winkel zwischen
> > aufeinander folgenden Seitenvektoren bestimmen.
> > Was bei dem Viereck "innen" und "aussen" ist, ergibt
> > sich dann aus dem Satz über die Innenwinkelsumme.
> >
> > Dieses Verfahren würde auch für beliebige ebene
> > Polygone funktionieren, ist allerdings etwas aufwendig.
> >
> > (*) orthonormiert (Achsen normal zueinander, gleich
> > lange Grundvektoren) muss es sein, weil andernfalls,
> > bei beliebigem affinen Koordinatensystem die Winkel
> > verzerrt würden.
> Das werde ich mal angehen.
Das kann aber schon etwas "tough" werden. Ich dachte
mir das eher als ein Rezept, wie man bei Bedarf einen
Computer-Algorithmus für solche Polygonwinkel (z.B.
auf den Seitenflächen eines komplizierten Polyeders)
entwickeln könnte.
Gruß Al-Gorizmi 
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