Inkreismittelpunkt Dreieck < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>In zwei Punkten a [mm] \neq[/mm] b des Kreises K werden Tangenten gezogen, die sich in c treffen. Zeige, dass der Inkreismittelpunkt des Dreiecks abc auf K liegt.
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Rein optisch ist mir klar, was dort passiert. Habe es mir auch aufgezeichnet. Ich bin derzeit soweit, dass ich vermute, dass die Winkel an Punkt a und Punkt b halb so groß sind wie der Winkel am Mittelpunkt des Kreises K.
Von da aus arbeite ich weiter und mein Bild sieht so aus:
![[]](/images/popup.gif) http://s7.directupload.net/images/140311/poxd6wxu.jpg
auf [mm]\frac{\alpha}{2}[/mm] komme ich wegen dem Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz. Den Winkel an dem SChnittpunkt der Seitenhalbierenden, die ja den Inkreismittelpunkt darstellen kann ich als halb so groß bestimmen wie der Winkel der den Winkel [mm]\alpha[/mm]komplettiert. Somit könnte ich ja hier eventuell auch mit dem Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz arbeiten, außer dass ich gerade das Gefühl habe, dass das nicht SO einfach geht.
Kann mir jemand eventuell weiterhelfen?
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Hallo Grapadura,
> <br>In zwei Punkten a [mm]\neq[/mm] b des Kreises K werden Tangenten
> gezogen, die sich in c treffen. Zeige, dass der
> Inkreismittelpunkt des Dreiecks abc auf K liegt.
> <br>
>
> Rein optisch ist mir klar, was dort passiert. Habe es mir
> auch aufgezeichnet. Ich bin derzeit soweit, dass ich
> vermute, dass die Winkel an Punkt a und Punkt b halb so
> groß sind wie der Winkel am Mittelpunkt des Kreises K.
> Von da aus arbeite ich weiter und mein Bild sieht so aus:
> http://s7.directupload.net/images/140311/poxd6wxu.jpg
Du kannst solche Bilder hier auch direkt hochladen, am besten sogar so, dass sie im Artikel angezeigt werden.
Ich kann Deine Beschriftung vor allem an einer Stelle (links) nicht gut lesen.
> auf [mm]\frac{\alpha}{2}[/mm] komme ich wegen dem
> Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz.
Den brauchst Du hier eigentlich gar nicht.
> Den Winkel an dem
> SChnittpunkt der Seitenhalbierenden, die ja den
> Inkreismittelpunkt darstellen kann ich als halb so groß
> bestimmen wie der Winkel der den Winkel [mm]\alpha[/mm]komplettiert.
Wie findet man denn den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks?
> Somit könnte ich ja hier eventuell auch mit dem
> Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz arbeiten, außer dass ich
> gerade das Gefühl habe, dass das nicht SO einfach geht.
> Kann mir jemand eventuell weiterhelfen?
1) Warum soll es nicht so einfach gehen? Das ist eigentlich eine Mittelstufen-Aufgabe, wenn auch keine leichte.
2) Nutze noch aus, dass der K-Radius vom Tangentenberührpunkt aus senkrecht auf der Tangente steht.
Grüße
reverend
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Danke für die Antwort.
Ich meine natürlich Winkelhalbierende und nicht Seitenhalbierende.
Ein Bild einbinden, das habe ich bisher noch nicht gefunden, da muß ich nochmal suchen.
Die Beschriftung ganz links soll [mm] \frac{\alpha}{4}[/mm] heißen.
Ich habe das Gefühl gerade in die total falsche Richtung zu denken. Das mit den 90° hatte ich mir auch schon überlegt an der Tangente aber daraus konnte ich keine Schlüsse wirklich ziehen, da die 90° ja entsprechend durch den unbekannten Winkel verkleinert werden.
Wie kann ich das mit dem Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz verknüpfen?
Ich habe unten ja 360°-[mm]\alpha[/mm]und in dem Dreieck das durch den Inkreismittelpunkt begrenzt wird hat der WInkel oben 180°- [mm]\frac{\alpha}{2}[/mm]
was ja nach dem Zentriwinkel-Peripheriesatz genau das ist was ich suche. Aber ich kann die beiden einfach nicht aufeinanderbringen, dass es passt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Di 11.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
versuche es doch mal folgendermaßen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ziel wird es sein, zu zeigen, dass BS die Winkelhalbierende von $ [mm] \angle [/mm] CBA $ ist. Dazu benutze man den Satz "In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten."
Es muss also nachgewiesen werden, dass im $ [mm] \Delta [/mm] DBC $ folgendes gilt : [mm] \bruch{u}{v}=\bruch{DB}{BC}.
[/mm]
Letzteres ist [mm] \sin \beta [/mm] und weil $ [mm] \beta [/mm] ' $ = [mm] \beta [/mm] ist, muss $ [mm] \sin \beta [/mm] ' $ = [mm] \bruch{u}{v} [/mm] nachgewiesen werden.
Das folgt aber aus den beiden Gleichungen $ [mm] \sin \beta [/mm] ' $ = [mm] \bruch{r-u}{r} [/mm] und $ [mm] \sin \beta [/mm] $ = [mm] \bruch{r}{r+v}
[/mm]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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![[]](http://s7.directupload.net/images/140311/poxd6wxu.jpg){kind=small}
http://s7.directupload.net/images/140311/poxd6wxu.jpg