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Hallo
Ich bin bei der Theorie der linearen Algebra wieder an einem Punkt angelangt, an dem ich im Moment praktisch nix mehr peile...
Ursprung meines Verständnisproglems ist folgendes Diagramm:
[mm] Alt^{2}(V;K) \subset [/mm] Bil(V;K)
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(V [mm] \wedge [/mm] V)* [mm] \subset [/mm] (V [mm] \otimes [/mm] V)*
Hier bezeichnen die | Pfeile (Isomorphismen), [mm] Alt^{2}(V;K) [/mm] sind die alternierenden, blinearen Abbildungen, Bil(V;K) die bilinearen Abbildungen.
Zuerst mal, damit ich das richtig Verstehe. [mm] Alt^{2}(V;K) \subset [/mm] Bil(V;K) ist klar, die Isomorphismen gehen aus den Definitonen des Wedgeprodukts und des Tensorprodukts hervor.
Und bei (V [mm] \wedge [/mm] V)* [mm] \subset [/mm] (V [mm] \otimes [/mm] V)* denke ich, dass das gilt, da (V [mm] \wedge [/mm] V) als Quotientenraum von (V [mm] \otimes [/mm] V) aufgefasst werden kann und somit auch für den Dualraum der Beiden diese Beziehung gilt. Richtig?
Jetzt geht es weiter und man versucht, eine Beziehung zwischen (V [mm] \wedge [/mm] V)* und V* [mm] \wedge [/mm] V* zu erhalten.
Dafür wird die Abbildung betrachtet [mm] \alpha: [/mm] V* [mm] \wedge [/mm] V* [mm] \to Alt^{2}(V;K), (\phi, \psi) \mapsto \alpha(\phi, \psi) [/mm] mit
[mm] \alpha(\phi, \psi)(v,w) [/mm] := [mm] det\pmat{ \phi(v) & \phi(w) \\ \psi(v) & \psi(w) }
[/mm]
Daraus folgt, dass die Abbildung alternierend ist.
Aber wie genau kommt man auf diese Determinante? Wieso sieht diese Abbildung genau so aus? Wer entscheidet das? ^^
Ich würde das gerne verstehen, dann kann ich auch die Beziehung verstehen, die dann folgt, nämlich die kanonischen Isomorphismen:
V* [mm] \wedge [/mm] V* [mm] \to Alt^{2}(V;K) \to [/mm] (V [mm] \wedge [/mm] V)*
Vielen Dank im Voraus für einen Erklärungsversuch :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Mi 22.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Ganz doofe Frage: Was ist [mm] $V\wedge [/mm] V$?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Ganz doofe Frage: Was ist [mm]V\wedge V[/mm]?
>
> Gruß, Robert
V [mm] \wedge [/mm] V kennt man unter drei Namen. Entweder unter "Wedgeprodukt", "Keilprodukt" oder "äusseres Produkt"
Konkreter, handelt es sich um die Multiplikation in der Grassmann-Algebra, eine Unteralgebra der Tensoralgebra. :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Mi 22.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Das Wedgeprodukt ist mir bekannt, jedoch bin ich irritiert was [mm] $V\wedge [/mm] V$ sein soll. Das wedge-Produkt operiert auf Paaren von alternierenden Formen. Meinst du vielleicht, dass man irgendwie kanonisch V mit [mm] $\operatorname{Alt}^1V$ [/mm] identifiziert (z.B. nach Wahl von Basen via [mm] $e_i\mapsto e_i^\star$) [/mm] und dann die Menge [mm] $V\wedge V:=\{v\wedge w\mid v,w\in V\}$ [/mm] betrachtet?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Nun, V [mm] \wedge [/mm] V ist der K-Vektorraum mit der alternierenden Abbildung [mm] \wedge: [/mm] V x V [mm] \to [/mm] V [mm] \wedge [/mm] V, welches es zu einem Vektorraum V mit dim V = n [mm] \ge [/mm] 2 gibt. Dieser Vektorraum muss dann die universelle Eigenschaft der Existenz einer linearen Abbildung für ein kommutierendes Diagramm erfüllen und so weiter.
Die Basis von V [mm] \wedge [/mm] V wäre dann durch [mm] v_{i} \wedge v_{j} [/mm] gegeben, mit 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n, und der Vektorraum hätte dim(V [mm] \wedge [/mm] V) = [mm] \pmat{ n \\ 2 }.
[/mm]
Es wäre denke ich, in der multilinearen Algebra, einfach der K-Vektorraum [mm] \wedge^{2}V...
[/mm]
Grüsse, und danke für das Interesse :)
Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mi 22.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Ok dann meinst du wohl mit [mm] $V\wedge [/mm] V$ das was ich als [mm] $\operatorname{Alt}^2V$ [/mm] bzw. [mm] $\Lambda^2V$ [/mm] kenne: denn Raum der alternierenden 2-Formen auf V. Ist das korrekt?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
> Ok dann meinst du wohl mit [mm]V\wedge V[/mm] das was ich als
> [mm]\operatorname{Alt}^2V[/mm] bzw. [mm]\Lambda^2V[/mm] kenne: denn Raum der
> alternierenden 2-Formen auf V. Ist das korrekt?
>
> Gruß, Robert
Richtig. [mm] \Lambda^{2}V [/mm] ist dwas ich mit [mm] \wedge^{2}V [/mm] darzustellen versuchte. Und ja, es handelt sich NOCH um 2-Formen :)
Gruss, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Mi 22.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ganz doofe Frage: Was ist [mm]V\wedge V[/mm]?
Ich hoffe, das soll der K-Vektorraum sein, durch den die alternierenden Bilinearformen eindeutig faktorisieren, umgs. Dachprodukt (engl. wedge product) genannt. Leider kann ich hier so auf die Schnelle kein tolles Diagramm hinzaubern.
(s. Bourbaki, Algèbre multilinéaire oder Lang, Algebra)
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 22.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Ok also ne richtige Antwort wird das sicher nicht, aber ich steuer einfach mal ein paar Gedanken von mir dazu bei...
> Und bei (V [mm]\wedge[/mm] V)* [mm]\subset[/mm] (V [mm]\otimes[/mm] V)* denke ich,
> dass das gilt, da (V [mm]\wedge[/mm] V) als Quotientenraum von (V
> [mm]\otimes[/mm] V) aufgefasst werden kann und somit auch für den
> Dualraum der Beiden diese Beziehung gilt. Richtig?
Ich habe darüber nachgedacht, und bin leider zu keiner aufschlussreichen Antwort gekommen 
> Jetzt geht es weiter und man versucht, eine Beziehung
> zwischen (V [mm]\wedge[/mm] V)* und V* [mm]\wedge[/mm] V* zu erhalten.
> Dafür wird die Abbildung betrachtet [mm]\alpha:[/mm] V* [mm]\wedge[/mm] V*
> [mm]\to Alt^{2}(V;K), (\phi, \psi) \mapsto \alpha(\phi, \psi)[/mm]
> mit
>
> [mm]\alpha(\phi, \psi)(v,w)[/mm] := [mm]det\pmat{ \phi(v) & \phi(w) \\ \psi(v) & \psi(w) }[/mm]
>
> Daraus folgt, dass die Abbildung alternierend ist.
>
> Aber wie genau kommt man auf diese Determinante? Wieso
> sieht diese Abbildung genau so aus? Wer entscheidet das?
Ich verstehe die Frage nicht so genau. Dass die Abbildung alternierend ist, ist klar: vertausche ich [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$, [/mm] so ändert die Determinante genau das Vorzeichen. Wie kommt man darauf? Nun, es ist doch im Grunde das Prinzip wie der Alternator, der dir aus k-Formen alternierende k-Formen macht durch [mm] $$\operatorname{Alt}(\omega)(v_1,...,v_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},...,v_{\sigma(k)})$$ [/mm] Nun siehst du doch die Analogie: [mm] $$\alpha(\phi_1,\phi_2)(v,w)=\sum_{\sigma\in S_2}\operatorname{sgn}(\sigma)\phi_{\sigma(1)}(v)\cdot\phi_{\sigma(2)}(w)$$
[/mm]
> Ich würde das gerne verstehen, dann kann ich auch die
> Beziehung verstehen, die dann folgt, nämlich die
> kanonischen Isomorphismen:
> V* [mm]\wedge[/mm] V* [mm]\to Alt^{2}(V;K) \to[/mm] (V [mm]\wedge[/mm] V)*
Also aus deinem Diagramm hast du doch einen Isomorphismus zwischen [mm][mm] (V\wedge V)^\star/mm] [/mm] und [mm]\operatorname{Alt}^2(V)[/mm]. Mit [mm] $\alpha$ [/mm] hast du ferner einen Isomorphismus zwischen [mm]\operatorname{Alt}^2(V)[/mm] und [mm] $V^\star\wedge V^\star$, [/mm] damit ist doch alles gesagt...?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> > Jetzt geht es weiter und man versucht, eine Beziehung
> > zwischen (V [mm]\wedge[/mm] V)* und V* [mm]\wedge[/mm] V* zu erhalten.
> > Dafür wird die Abbildung betrachtet [mm]\alpha:[/mm] V* [mm]\wedge[/mm] V*
> > [mm]\to Alt^{2}(V;K), (\phi, \psi) \mapsto \alpha(\phi, \psi)[/mm]
> > mit
> >
> > [mm]\alpha(\phi, \psi)(v,w)[/mm] := [mm]det\pmat{ \phi(v) & \phi(w) \\ \psi(v) & \psi(w) }[/mm]
>
> >
> > Daraus folgt, dass die Abbildung alternierend ist.
> >
> > Aber wie genau kommt man auf diese Determinante? Wieso
> > sieht diese Abbildung genau so aus? Wer entscheidet das?
> Ich verstehe die Frage nicht so genau. Dass die Abbildung
> alternierend ist, ist klar: vertausche ich [mm]$\phi$[/mm] und
> [mm]$\psi$,[/mm] so ändert die Determinante genau das Vorzeichen.
> Wie kommt man darauf? Nun, es ist doch im Grunde das
> Prinzip wie der Alternator, der dir aus k-Formen
> alternierende k-Formen macht durch
> [mm]\operatorname{Alt}(\omega)(v_1,...,v_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},...,v_{\sigma(k)})[/mm]
> Nun siehst du doch die Analogie:
> [mm]\alpha(\phi_1,\phi_2)(v,w)=\sum_{\sigma\in S_2}\operatorname{sgn}(\sigma)\phi_{\sigma(1)}(v)\cdot\phi_{\sigma(2)}(w)[/mm]
>
Gut, das würde aber insofern meine Frage beantworten, als das du jetzt praktisch sagst (wenn ich das richtig verstehe), dass die Abbildung einfach geschickt gewählt wurde, um das zu erreichen, was man erreichen möchte, oder?
D.h. da die Determinante diese Eigenschaft hat und man eine alternierende Abbildung erhalten möchte, wählt man die Determinante als Abbildung.. Ist das so?
Ah, und nur das ich die Notation richtig verstehe.. [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] sind jeweils Linearformen aus dem Dualraum von V, oder?
> > Ich würde das gerne verstehen, dann kann ich auch die
> > Beziehung verstehen, die dann folgt, nämlich die
> > kanonischen Isomorphismen:
> > V* [mm]\wedge[/mm] V* [mm]\to Alt^{2}(V;K) \to[/mm] (V [mm]\wedge[/mm] V)*
> Also aus deinem Diagramm hast du doch einen Isomorphismus
> zwischen [mm][mm](V\wedge V)^\star/mm][/mm] und [mm]\operatorname{Alt}^2(V)[/mm]. Mit [mm]\alpha[/mm] hast du ferner einen Isomorphismus zwischen [mm]\operatorname{Alt}^2(V)[/mm] und [mm]V^\star\wedge V^\star[/mm], damit ist doch alles gesagt...?
Ja, meine Frage wäre somit so weit beantwortet.. Vielen Dank nochmals für deine Zeit :)
Seit ich mit diesem Bereich angefangen habe, fällt es mir schwer alle Zusammenhänge zu sehen..
Gruß, Robert
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Do 23.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Gut, das würde aber insofern meine Frage beantworten, als
> das du jetzt praktisch sagst (wenn ich das richtig
> verstehe), dass die Abbildung einfach geschickt gewählt
> wurde, um das zu erreichen, was man erreichen möchte,
> oder?
Im Grunde ja, auch wenn ich dir zustimme, dass das nicht sonderlich befriedigend ist. Ich wäre glücklicher wenn dieses [mm] $\alpha$ [/mm] irgendwie z.B. bis auf eine Konstanten Faktor die einzige Abbildung mit dieser Eigenschaft wäre, aber leider steig ich da auch gerade aus, aber vielleicht findest du ja noch was raus.
> Ah, und nur das ich die Notation richtig verstehe.. [mm]\phi[/mm]
> und [mm]\psi[/mm] sind jeweils Linearformen aus dem Dualraum von V, oder?
Ja.
Ich will nur mal anmerken, dass ich den großen Zusammenhang hinter dem ganzen Tensorraumkram auch noch nicht richtig verstanden habe. Aber ich bin mir sicher das Verständnis kommt einfach mit der Zeit, ganz unbemerkt, sofern du nur weiter am Ball bleibst.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Do 23.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Robert
Ich bedanke mich ganz herzlich für deine Mühe und deine Zeit. Du hast mich wirklich weiter geholfen.
>.Aber ich bin mir sicher das
> Verständnis kommt einfach mit der Zeit, ganz unbemerkt,
> sofern du nur weiter am Ball bleibst.
>
Das will ich stark hoffen.. Trotzdem wäre es ein gutes Gefühl, bei der Prüfung in diesem Thema zu verstehen, was man eigentlich tut :)
> Gruß, Robert
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 23.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:38 Fr 24.07.2009 | | Autor: | felixf |
> Hallo
>
> Ich bin bei der Theorie der linearen Algebra wieder an
> einem Punkt angelangt, an dem ich im Moment praktisch nix
> mehr peile...
>
> Ursprung meines Verständnisproglems ist folgendes
> Diagramm:
>
> [mm]Alt^{2}(V;K) \subset[/mm] Bil(V;K)
>
> | |
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>
> (V [mm]\wedge[/mm] V)* [mm]\subset[/mm] (V [mm]\otimes[/mm] V)*
>
>
> Hier bezeichnen die | Pfeile (Isomorphismen), [mm]Alt^{2}(V;K)[/mm]
> sind die alternierenden, blinearen Abbildungen, Bil(V;K)
> die bilinearen Abbildungen.
>
> Zuerst mal, damit ich das richtig Verstehe. [mm]Alt^{2}(V;K) \subset[/mm]
> Bil(V;K) ist klar, die Isomorphismen gehen aus den
> Definitonen des Wedgeprodukts und des Tensorprodukts
> hervor.
Ja.
> Und bei (V [mm]\wedge[/mm] V)* [mm]\subset[/mm] (V [mm]\otimes[/mm] V)* denke ich,
> dass das gilt, da (V [mm]\wedge[/mm] V) als Quotientenraum von (V
> [mm]\otimes[/mm] V) aufgefasst werden kann und somit auch für den
> Dualraum der Beiden diese Beziehung gilt. Richtig?
Oder etwas abstrakter ausgedrueckt: [mm] $\varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W$ ist surjektiv, und damit ist [mm] $\varphi^\ast [/mm] : [mm] W^\ast \to V^\ast$ [/mm] injektiv. Wenn also [mm] $\pi [/mm] : V [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] V [mm] \wedge [/mm] V$ die kanonische Projektion ist, so liefert [mm] $\pi^\ast$ [/mm] eine Inklusionsabbildung, bzgl. der man $(V [mm] \wedge V)^\ast$ [/mm] als Unterraum von $(V [mm] \otimes V)^\ast$ [/mm] auffassen kann.
Erstmal muss man sich natuerlich fragen: stimmt diese Aussage ueberhaupt? 
Deswegen ein Beweis: da [mm] $\varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W$ surjektiv ist, gibt es eine Abbildung [mm] $\psi [/mm] : W [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $\varphi \circ \psi [/mm] = [mm] id_W$. [/mm] Damit gilt aber [mm] $id_{W^\ast} [/mm] = [mm] (id_W)^\ast [/mm] = [mm] (\varphi \circ \psi)^\ast [/mm] = [mm] \psi^\ast \circ \varphi^\ast$, [/mm] womit [mm] $\varphi^\ast$ [/mm] injektiv sein muss. (Kontravariante Funktoren sind was feines...)
Die Frage ist jetzt aber, ob diese Abbildung auch die durch $(V [mm] \wedge V)^\ast \cong Alt^2(V; [/mm] K) [mm] \subseteq [/mm] Bil(V; K) [mm] \cong [/mm] (V [mm] \otimes V)^\ast$ [/mm] induzierte Abbildung ist. Sei dazu $f [mm] \in [/mm] (V [mm] \wedge V)^\ast$, [/mm] also $f : V [mm] \wedge [/mm] V [mm] \to [/mm] K$ linear. Vermoege des Isomorphismus $(V [mm] \wedge V)^\ast \cong Alt^2(V; [/mm] K)$ wird $f$ auf eine bilineare, alternierende Abbildung [mm] $\hat{f} [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] K$ abgebildet. Diese ist auch einfach eine bilineare Abbildung [mm] $\hat{f} [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] K$, womit diese vermoege des Isomorphismus $Bil(V; K) [mm] \cong [/mm] (V [mm] \otimes V)^\ast$ [/mm] einer linearen Abbildung [mm] $\tilde{f} [/mm] : V [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] K$ entspricht.
Waere [mm] $\pi^\ast(f) [/mm] = [mm] \tilde{f}$, [/mm] also [mm] $\tilde{f} [/mm] = f [mm] \circ \pi$, [/mm] so muesste fuer alle $v [mm] \otimes [/mm] w [mm] \in [/mm] V [mm] \otimes [/mm] V$ gelten [mm] $\tilde{f}(v \otimes [/mm] w) = (f [mm] \circ \pi)(v \otimes [/mm] w)$. Nun ist jedoch [mm] $\tilde{f}(v \otimes [/mm] w) = [mm] \hat{f}(v, [/mm] w) = f(v [mm] \wedge [/mm] w) = [mm] f(\pi(v \otimes [/mm] w))$ aufgrund der Beziehung [mm] $\tilde{f} \leftrightarrow \hat{f}$ und $\hat{f} \leftrightarrow f$.
Damit ist gezeigt, dass $\pi^*$ tatsaechlich die Inklusionsabbildung ist, die das obige Diagramm kommutieren laesst.
> Jetzt geht es weiter und man versucht, eine Beziehung
> zwischen (V [/mm] [mm]\wedge[/mm] V)* und V* [mm]\wedge[/mm] V* zu erhalten.
> Dafür wird die Abbildung betrachtet [mm]\alpha:[/mm] V* [mm]\wedge[/mm] V*
> [mm]\to Alt^{2}(V;K), (\phi, \psi) \mapsto \alpha(\phi, \psi)[/mm]
> mit
>
> [mm]\alpha(\phi, \psi)(v,w)[/mm] := [mm]det\pmat{ \phi(v) & \phi(w) \\ \psi(v) & \psi(w) }[/mm]
>
> Daraus folgt, dass die Abbildung alternierend ist.
>
> Aber wie genau kommt man auf diese Determinante? Wieso
> sieht diese Abbildung genau so aus? Wer entscheidet das?
> ^^
Die Determinante ist (wegen der Normierung) die eindeutig bestimmte alternierende Bilinearform [mm] $K^2 \times K^2 \to [/mm] K$. (Beachte dass [mm] $\dim \bigwedge^2 K^2 [/mm] = 1$ ist.) Insofern springt sie einem foermlich ins Auge (bzw. wird einem auf's Auge gedrueckt) wenn man eine alternierende Bilinearform [mm] $K^2 \times K^2 \to [/mm] K$ haben will.
Du hast nun [mm] $\varphi, \psi \in V^\ast$ [/mm] und willst [mm] $\alpha(\varphi, \psi)$ [/mm] definieren, und das soll ein Element in [mm] $Alt^2(V; [/mm] K)$ sein. Du musst also eine Funktion basteln, alternierend und bilinear ist und ein Vektorpaar $(v, w) [mm] \in V^2$ [/mm] auf ein Element aus $K$ abbildet. Das man jetzt $v$ und $w$ sowohl in [mm] $\varphi$ [/mm] wie auch [mm] $\psi$ [/mm] einsetzen kann ist klar, und da die entstehende Abbildung irgendwie kanonisch sein soll bleibt einem auch nichts anderes uebrig. Man erhaelt also vier Elemente aus $K$, mit denen man etwas machen kann. Da [mm] $\varphi, \psi$ [/mm] einfach linear ist muss man also eine alternierende Komponente ins Spiel bringen, und die einzige kanonische Wahl ist die Determinante einer $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix. Also nimmt man die, wurschelt das zusammen, und guckt was rauskommt.
> Ich würde das gerne verstehen, dann kann ich auch die
> Beziehung verstehen, die dann folgt, nämlich die
> kanonischen Isomorphismen:
>
> V* [mm]\wedge[/mm] V* [mm]\to Alt^{2}(V;K) \to[/mm] (V [mm]\wedge[/mm] V)*
Ist das erste wirklich ein Isomorphismus? Das muesste man erst noch zeigen. Nach dem was oben steht bekommt man erstmal einen kanonischen Homomorphismus [mm] $V^\ast \wedge V^\ast \to Alt^2(V; [/mm] K)$.
Ich hoffe das hilft dir alles weiter...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix
> Ich hoffe das hilft dir alles weiter...
>
Ja, es hat mir geholfen. .
Danke für den Beweis.. Es ist schön, wenn man sowas abstraktes mindestens ein bisschen handfester gestalten kann. :)
Ich sehe mittlerweile ein, dass die Determinante eine perfekte Abbildung ist für diese Eigenschaft. Ich hatte aber Mühe zu glauben,
dass sie einfach so willkürlich gewählt wird, weil sie dazu passt.
Ist sie wirklich die einzige Abbildung, die die Kriterien erfüllt?
Wie dem auch sei, ich danke dir auf jeden Fall ganz herzlich für deine Hilfe :)
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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