Injektivität und Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:25 Fr 27.11.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Untersuche die Funktion auf Injektivität und Surjektivität:
F: [mm] \IR2 \to \IR2, [/mm] F(x,y):=(xy,x-y) |
Hallo, mir ist soweit klar, was injektiv und surjektiv bedeutet, aber ich verstehe einfach nicht, wie ich z.B. zeigen soll, dass eine Funktion surjektiv ist. Denn dann müsste ich ja zeigen, dass zu jedem v mind ein v´existiert. Es stört mich dises: zu jedem. Wie soll ich das an einer Funktion zeigen?
Ich wäre sehr dankbar für eine Hilfestellung...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Für die Injektivität könntest du dir mal den Kern der Abbdilung anschauen. Dann ist schnell klar, dass die Abbildung nur injektiv sein kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Fr 27.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ok,man hat dann wahrscheinlivh nur ein x, dass man einsetzen kann, sodass es auf Null abgebildet wird - also ist die Funktion Injektv.
Aber wie würde ich das jetzt mathematisch aufschreiebn und wie mach ich das dann mit der Surjektivität, denn da gibt es ja nicht den Kern-Trick! :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Schau dir doch mal an was mit x und y passiert wenn gelten muss, dass (xy,x-y)=(0,0).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 27.11.2009 | | Autor: | LariC |
Dann müssen sie beide Null sein - also ist die abbildung Nulle - und somit der Kern . Gut, aber was ist jetzt mit Surjktivität?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Da musst du jetzt an konkretes [mm] (u,v)\in \IR^2 [/mm] finden, sodass F((u,v))=(xy,x-y). Das is auch nich allzu schwer. Versuch mal so ein (u,v) zu basteln.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 27.11.2009 | | Autor: | LariC |
Wie? Da reichen doch keine konkreten Werte, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
> Wie? Da reichen doch keine konkreten Werte, oder?
Nein ich meinte du sollst ein konkretes (u,v) angeben also sprich (u,v)=(-,-).
Allerdings ist es wohl doch nicht so einfach so ein (u,v) anzugeben, da die Funktion wohl eher nicht surjektiv ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Nimm zum Beispiel mal [mm] (-1,0)\in \IR^2. [/mm] Dann findest du kein [mm] (u,v)\in \IR^2 [/mm] sodass F((u,v))=(-1,0) und damit kann die Funktion F nicht surjektiv sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
siehe Mitteilung oben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Fr 27.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für die Injektivität könntest du dir mal den Kern der
> Abbdilung anschauen. Dann ist schnell klar, dass die
> Abbildung nur injektiv sein kann.
Der Kern einer Abbildung ist nur fuer lineare Abbildungen definiert. Wenn du ihn einfach als das Urbild von $(0, 0)$ definierst, gilt zwar noch, dass die Abbildung nicht injektiv ist wenn der Kern mehr als ein Element enthaelt, aber umgekehrt gilt das nicht.
Man muss das schon allgemeiner angehen: man nimmt sich $(x, y), (x', y')$ mit $f(x, y) = f(x', y')$, also $x y = x' y'$ und $x - y = x' - y'$, und schaut ob man daraus folgern kann $(x, y) = (x', y')$ -- oder halt auch nicht.
Tipp: man schaue die Paare $(x, y)$ mit $x - y = 0$ an, also $x = y$. Wann ist $f(x, x) = f(x', x')$ der Fall?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
> Hallo!
>
> > Für die Injektivität könntest du dir mal den Kern der
> > Abbdilung anschauen. Dann ist schnell klar, dass die
> > Abbildung nur injektiv sein kann.
>
> Der Kern einer Abbildung ist nur fuer lineare Abbildungen
> definiert. Wenn du ihn einfach als das Urbild von [mm](0, 0)[/mm]
> definierst, gilt zwar noch, dass die Abbildung nicht
> injektiv ist wenn der Kern mehr als ein Element enthaelt,
> aber umgekehrt gilt das nicht.
>
> Man muss das schon allgemeiner angehen: man nimmt sich [mm](x, y), (x', y')[/mm]
> mit [mm]f(x, y) = f(x', y')[/mm], also [mm]x y = x' y'[/mm] und [mm]x - y = x' - y'[/mm],
> und schaut ob man daraus folgern kann [mm](x, y) = (x', y')[/mm] --
> oder halt auch nicht.
Du hast natürlich völlig Recht. Danke für die Korrektur!!
>
> Tipp: man schaue die Paare [mm](x, y)[/mm] mit [mm]x - y = 0[/mm] an, also [mm]x = y[/mm].
> Wann ist [mm]f(x, x) = f(x', x')[/mm] der Fall?
>
> LG Felix
>
|
|
|
|
