Injektivität und Surjektivitä. < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Di 11.12.2012 | | Autor: | Fr91 |
| Aufgabe | Es seien X,Y endliche Mengen mit |X| = |Y|, und sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a). Wenn f injektiv ist, dann ist f auch surjektiv;
(b). wenn f surjektiv ist, dann ist f auch injektiv. |
Hallo Leute,
Da ihr uns letzte Woche so Super helfen konntet, stelle ich mal wieder eine Frage 
Ansich ist die Definition von Injektivität und Surjektivität natürlich klar. Ich verstehe nur nicht so ganz: Wenn |X| = |Y|, bedeutet das doch, dass die Mengen, da sie aufeinander abbilden, gleichmächtig sind, oder? In dem Fall müsste doch eine Bijektivität vorliegen?
Soweit zum Verständnis. Nun, unabhängig von der Korrektheit des obigen Teils: Wie zeige ich das in einer so allgemeinen Form? Ich meine, mit f: X [mm] \to [/mm] Y komme ich nicht ganz klar..
Danke für jeden Tipp
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Hallo,
> Es seien X,Y endliche Mengen mit |X| = |Y|, und sei f : X
> [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
> (a). Wenn f injektiv ist, dann ist f auch surjektiv;
> (b). wenn f surjektiv ist, dann ist f auch injektiv.
> Hallo Leute,
> Da ihr uns letzte Woche so Super helfen konntet, stelle
> ich mal wieder eine Frage
>
> Ansich ist die Definition von Injektivität und
> Surjektivität natürlich klar. Ich verstehe nur nicht so
> ganz: Wenn |X| = |Y|, bedeutet das doch, dass die Mengen,
> da sie aufeinander abbilden, gleichmächtig sind, oder? In
> dem Fall müsste doch eine Bijektivität vorliegen?
Nicht automatisch. Die Schreibweise
f: [mm] X\to{Y}
[/mm]
bedeutet nicht automatisch, dass jedes Element von Y im Bild von X unter f liegt.
> Soweit zum Verständnis. Nun, unabhängig von der
> Korrektheit des obigen Teils: Wie zeige ich das in einer so
> allgemeinen Form? Ich meine, mit f: X [mm]\to[/mm] Y komme ich nicht
> ganz klar..
Na ja, beginne mal mit einer Überlegung. Wenn f injektiv ist, werden unterschiedlichen Elementen aus X unterschiedliche Elemente aus Y zugeordnet. Und nun kommt die Gleichmächtigkeit hinzu. Nimm doch einfach mal an, dass es Elemente in Y gibt, für die
[mm]y\not\in{f(X)}[/mm]
gilt und führe das zum Widerspruch. Bei der zweiten Aufgabe kann man IMO ähnlich vorgehen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 11.12.2012 | | Autor: | Fr91 |
Hat soweit super geklappt, danke!
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