Injektivität,Surjektivität ... < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind und begründen Sie Ihre Antwort:
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c) [mm] \IC \mapsto \IC: [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] i*z |
Hallo Freunde der Mathematik,
z=a+bi wenn ich das mit i multipliziere dann bekommen ich ai-b raus. Jetzt frage ich mich, ist es surjektiv?Kann ich jeden Punkt(Bildwert) treffen? Ich würde sagen ja, weil ich mir zu jedem Bildwert mindestens 1 Urbilder mir erzeugen kann, durch errechnen von Winkel und Betrag. RICHTIG???
Nächste Frage ist, ob es injektiv ist?Also gibt es zu jedem Bildwert nur ein Urbild. Wenn ich da jetzt an den Einheitskreis denke, dann haben ja immer 2 verschiede Urbilder den gleichen Bildwert (außer bei pi/2 und pi3/2). Also ist meine Abbildung nicht injektiv?? Oder habe ich was falsch verstaden??
Ich bin davon ausgegangen, dass ich ai-b gleich behandle wie a+bi.
Gruß :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen injektiv,
> surjektiv oder bijektiv sind und begründen Sie Ihre
> Antwort:
> ..
> c) [mm]\IC \mapsto \IC:[/mm] z [mm]\mapsto[/mm] i*z
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> z=a+bi wenn ich das mit i multipliziere dann bekommen ich
> ai-b raus. Jetzt frage ich mich, ist es surjektiv?Kann ich
> jeden Punkt(Bildwert) treffen? Ich würde sagen ja, weil
> ich mir zu jedem Bildwert mindestens 1 Urbilder mir
> erzeugen kann, durch errechnen von Winkel und Betrag.
> RICHTIG???
Ja, richtig, aber Winkel und Betrag und ähnlichen Schnick-Schnack brauchst Du nicht.
Deine Abb. nenne ich mal f, also f(z)=iz.
Wenn f surjektiv ist, muß es zu jedem w [mm] \in \IC [/mm] ein z [mm] \in \IC [/mm] geben mit f(z)=w.
Also ist die Frage: gibt es zu vorgegebenem w ein z mit: iz=w ?
Antwort: ja. Frage an Dich : wie sieht ein solches z aus ?
> Nächste Frage ist, ob es injektiv ist?Also gibt es zu
> jedem Bildwert nur ein Urbild. Wenn ich da jetzt an den
> Einheitskreis denke, dann haben ja immer 2 verschiede
> Urbilder den gleichen Bildwert (außer bei pi/2 und pi3/2).
Hä ???
> Also ist meine Abbildung nicht injektiv??
Das stimmt nicht.
f ist ijnektiv, wenn aus [mm] f(z_1)=f(z_2) [/mm] stets [mm] z_1=z_2 [/mm] folgt. Das ist so. Warum ?
FRED
> Oder habe ich was
> falsch verstaden??
> Ich bin davon ausgegangen, dass ich ai-b gleich behandle
> wie a+bi.
>
> Gruß :)
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> Ja, richtig, aber Winkel und Betrag und ähnlichen
> Schnick-Schnack brauchst Du nicht.
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> Deine Abb. nenne ich mal f, also f(z)=iz.
>
> Wenn f surjektiv ist, muß es zu jedem w [mm]\in \IC[/mm] ein z [mm]\in \IC[/mm]
> geben mit f(z)=w.
>
> Also ist die Frage: gibt es zu vorgegebenem w ein z mit:
> iz=w ?
>
> Antwort: ja. Frage an Dich : wie sieht ein solches z aus ?
z= (a+bi)/i ????
>
> > Nächste Frage ist, ob es injektiv ist?Also gibt es zu
> > jedem Bildwert nur ein Urbild. Wenn ich da jetzt an den
> > Einheitskreis denke, dann haben ja immer 2 verschiede
> > Urbilder den gleichen Bildwert (außer bei pi/2 und pi3/2).
>
> Hä ???
>
>
> > Also ist meine Abbildung nicht injektiv??
>
>
> Das stimmt nicht.
>
> f ist ijnektiv, wenn aus [mm]f(z_1)=f(z_2)[/mm] stets [mm]z_1=z_2[/mm] folgt.
> Das ist so. Warum ?
ich weiß nicht warum das so ist. Ich weiß dass nur, dass wenn f(z1)=f(z2)
und z1 ungleich z2 ist, das es dann nicht injektiv sein kann.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Ja, richtig, aber Winkel und Betrag und ähnlichen
> > Schnick-Schnack brauchst Du nicht.
> >
> > Deine Abb. nenne ich mal f, also f(z)=iz.
> >
> > Wenn f surjektiv ist, muß es zu jedem w [mm]\in \IC[/mm] ein z [mm]\in \IC[/mm]
> > geben mit f(z)=w.
> >
> > Also ist die Frage: gibt es zu vorgegebenem w ein z mit:
> > iz=w ?
> >
> > Antwort: ja. Frage an Dich : wie sieht ein solches z aus ?
> z= (a+bi)/i ????
Ja, $z= [mm] \bruch{w}{i}$
[/mm]
> >
> > > Nächste Frage ist, ob es injektiv ist?Also gibt es zu
> > > jedem Bildwert nur ein Urbild. Wenn ich da jetzt an den
> > > Einheitskreis denke, dann haben ja immer 2 verschiede
> > > Urbilder den gleichen Bildwert (außer bei pi/2 und pi3/2).
> >
> > Hä ???
> >
> >
> > > Also ist meine Abbildung nicht injektiv??
> >
> >
> > Das stimmt nicht.
> >
> > f ist ijnektiv, wenn aus [mm]f(z_1)=f(z_2)[/mm] stets [mm]z_1=z_2[/mm] folgt.
> > Das ist so. Warum ?
>
> ich weiß nicht warum das so ist. Ich weiß dass nur, dass
> wenn f(z1)=f(z2)
> und z1 ungleich z2 ist, das es dann nicht injektiv sein
> kann.
Alsoooooooooooooooo:
sei [mm] f(z_1)=f(z_2). [/mm] Das bedeutet: [mm] $i*z_1=i*z_2$. [/mm] Jetzt teilen wir durch i und erhalten: [mm] z_1=z_2 [/mm] ! Bingo ! Wars denn so schwer ?
FRED
>
> Gruß
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Hallo Ahnungsloser,
schau Dir mal Deine Abbildung an. Durch sie wird sozusagen die komplexe Zahlenebene einfach um 90° nach links gedreht. Was sagt Dir das über Injektivität und Surjektivität?
Grüße
reverend
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