Injektivität, Surjektivität < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Di 06.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | | Untersuche folgende Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität. |
1. f: [mm] \mathcal{P}(M) \to \mathcal{P}(M), [/mm] f(A)=A \ [mm] \{x\}, [/mm] wobei M eine Menge und [mm] x\in [/mm] M ein festes Element von M sei.
2. f: [mm] \{0,1\}^{6} \to \{0,1,2,3,4,5,6\}, [/mm] f(a) = Anzahl der Nullen in a
Anderen Abbildungen konnte ich die richtigen Eigenschaften zuordnen (hoffe ich :P) aber bei diesen beiden fehlt mir wirklich jeglicher Ansatz, weil ich die Bedeutung nicht genau verstehe.
zu 1. : Die Potenzmenge von M wird auf die Potenzmenge von M abgebildet. f(A) = A\ {x} müsste dann doch direkt heißen, dass die Funktion nicht surjektiv sein kann, weil {x} Teilmenge von P(M) ist, aber nicht getroffen werden kann. Wie ich auf Injektivität untersuchen soll weiss ich leider überhaupt nich.
zu 2. : Hier macht mir die 6te Potenz Probleme. Kann ich Mengen irgendwie potenzieren und dann einfach die Menge anschauen um so die Eigenschaften zu bestimmen?
Ich hoffe ihr könnt mir da irgendwie weiterhelfen. Danke schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 06.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Habe ich meine Frage jetzt ins falsche Forum gepackt? Wenn ja tuts mir leid, ist mein erster Thread.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche folgende Abbildungen auf Injektivität und
> Surjektivität.
> 1. f: [mm]\mathcal{P}(M) \to \mathcal{P}(M),[/mm] f(A)=A \ [mm]\{x\},[/mm]
> wobei M eine Menge und [mm]x\in[/mm] M ein festes Element von M
> sei.
>
> 2. f: [mm]\{0,1\}^{6} \to \{0,1,2,3,4,5,6\},[/mm] f(a) = Anzahl der
> Nullen in a
>
> Anderen Abbildungen konnte ich die richtigen Eigenschaften
> zuordnen (hoffe ich :P) aber bei diesen beiden fehlt mir
> wirklich jeglicher Ansatz, weil ich die Bedeutung nicht
> genau verstehe.
>
>
> zu 1. : Die Potenzmenge von M wird auf die Potenzmenge von
> M abgebildet.
Besser ..... "in die Potenzmenge" ...
> f(A) = A\ {x} müsste dann doch direkt
> heißen, dass die Funktion nicht surjektiv sein kann, weil
> {x} Teilmenge von P(M) ist, aber nicht getroffen werden
> kann.
Ja, setze B={ x }. Dann gibt es keine Teilmenge A von M mit f(A)=B.
> Wie ich auf Injektivität untersuchen soll weiss ich
> leider überhaupt nich.
Zeige [mm] f(\emptyset)=f(\{ x \}). [/mm] Kann f injektiv sein ?
>
>
> zu 2. : Hier macht mir die 6te Potenz Probleme. Kann ich
> Mengen irgendwie potenzieren und dann einfach die Menge
> anschauen um so die Eigenschaften zu bestimmen?
Ist N eine Menge und n [mm] \in \IN, [/mm] so ist [mm] N^m [/mm] definiert als das n-fache kartesische Produkt von N.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt
FRED
>
> Ich hoffe ihr könnt mir da irgendwie weiterhelfen. Danke
> schonmal im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 06.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Wow, vielen dank. das heißt also bei Abbildung 2 dass sie sowohl injektiv ist, weil es maximal 6 Nullen geben kann: {0,0,0,0,0,0}, also auch surjektiv, weil jeder Funktionswert mindestens ein Urbild hat?
Was ich noch nicht verstanden habe, ist wieso du $ [mm] f(\emptyset)=f(\{ x \}). [/mm] $ gesetzt hast. Kannst Du das vielleicht noch etwas erläutern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wow, vielen dank. das heißt also bei Abbildung 2 dass sie
> sowohl injektiv ist, weil es maximal 6 Nullen geben kann:
> {0,0,0,0,0,0},
Injektiv ist die Abbildung nicht, denn f((1,0,0,0,0,0))=5=f((0,0,0,0,0,1))
> also auch surjektiv, weil jeder
> Funktionswert mindestens ein Urbild hat?
Natürlich hat jeder Funktionswert ein Urbild. Du hast "surjektiv" nicht verstanden.
Du mußt zeigen: zu jedem j [mm] \in \{0,1,2,3,4,5,6,\} [/mm] ex. ein [mm] a_j \in \{0,1\}^6 [/mm] mit [mm] f(a_j)=j
[/mm]
>
> Was ich noch nicht verstanden habe, ist wieso du
> [mm]f(\emptyset)=f(\{ x \}).[/mm] gesetzt hast.
Das habe ich nicht gesetzt ! Es gilt ! Damit sieht man , dass f nicht injektiv ist.
FRED
> Kannst Du das
> vielleicht noch etwas erläutern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 06.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Alles klar, vielen Dank!
|
|
|
|
