Injektivität D: HomR \to N^m < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Di 28.06.2011 | | Autor: | BenK |
| Aufgabe | Die Abbildung
D: [mm] HomR(R^m [/mm] , N) [mm] \to N^m
[/mm]
f [mm] \mapsto [/mm] (f(e1),.....,f(em))
die jeder R-linearen Abbildung f: [mm] R^m \to [/mm] N das Bild der Standardbasis zuordnet, ist ein R-Modul-Isomorphismus.
Man zeige die Injektivität von D. |
Guten Abend.
Wollte nachfragen, ob man die Injektivität so zeigen kann:
Sei D(f)=D(g) für f,g [mm] \in HomR(R^m [/mm] , N)
Wir müssen zeigen, dass dann auch f=g.
(*) Es gilt Kern(D)={0 [mm] \in [/mm] HomR} [mm] \Rightarrow [/mm] D injektiv
Weiter
0 [mm] \in [/mm] N = D(f) - D(g) = D(f-g)
Daraus folgt, dass (f-g) [mm] \in [/mm] Kern(D)
Nach (*) folgt 0 [mm] \in [/mm] HomR = f-g
und somit f=g, was zu zeigen war.
Das Skript zeigt die Injektivität auf eine andere Weise und jetzt bin ich mir nicht mehr so sicher, ob mein Beweis so funktioniert.
Bin also für Verbesserungsvorschläge offen 
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Di 28.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin BenK!
> Die Abbildung
>
> D: [mm]HomR(R^m[/mm] , N) [mm]\to N^m[/mm]
> f [mm]\mapsto[/mm]
> (f(e1),.....,f(em))
>
> die jeder R-linearen Abbildung f: [mm]R^m \to[/mm] N das Bild der
> Standardbasis zuordnet, ist ein R-Modul-Isomorphismus.
>
> Man zeige die Injektivität von D.
> Guten Abend.
>
> Wollte nachfragen, ob man die Injektivität so zeigen
> kann:
>
> Sei D(f)=D(g) für f,g [mm]\in HomR(R^m[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, N)
> Wir müssen zeigen, dass dann auch f=g.
>
> (*) Es gilt Kern(D)={0 [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
HomR} [mm]\Rightarrow[/mm] D injektiv
Es reicht also, ein Element $f [mm] \in [/mm] Kern(D)$ zu nehmen, und $f = 0$ zu zeigen.
> Weiter
>
> 0 [mm]\in[/mm] N = D(f) - D(g) = D(f-g)
So kannst du das nicht schreiben. Du meinst $D(f - g) = D(f) - D(g) = 0 [mm] \in [/mm] N$.
Schliesslich ist $D(f) - D(g)$ nicht gleich $N$, sondern gleich 0!
> Daraus folgt, dass (f-g) [mm]\in[/mm] Kern(D)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach (*) folgt 0 [mm]\in[/mm] HomR = f-g
Nein. Mit (*) kannst du noch nichts folgern, du musst dazu erst Kern(D) = 0 zeigen, um (*) anwenden zu koennen.
Und $0 [mm] \in Hom_R [/mm] = f - g$ macht ebenfalls keinen Sinn. [mm] $Hom_R$ [/mm] ist eine Menge, $f - g$ ein Element dieser, womit sie nicht gleich sein koennen!
> und somit f=g, was zu zeigen war.
Nein.
Nimm dir ein $f [mm] \in [/mm] Kern(D)$: dann gilt $D(f) = 0 [mm] \in N^n$. [/mm] Zeige jetzt, dass $f = 0$ ist.
Wenn du das gezeigt hast, hast du gezeigt dass $Kern(D) = 0$ ist, und mit (*) folgt, dass $D$ injektiv ist.
LG Felix
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