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| Aufgabe | Es sei f:X [mm] \to [/mm] Y
Beweisen Sie, dass
f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
für alle Teilmengen A,B von X, genau dann wenn f injektiv ist. |
Mein Frage ist nun eher was fürs Verständnis.
Sei f injektiv.
f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \gdw [/mm] y=f(a) und y=f(b) für [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B.
Da f injektiv ist gilt a=b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b) bzw. [mm] a\not= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \not= [/mm] f(b)
[mm] \Rightarrow a=b\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
Jetzt mein Frage: Kann man jetzt folgern, dass die Menge A gleich der Menge B ist oder das die Mengen disjunkt sind ???
Ich hab da gewisse Schwierigkeiten, mir das Vorzustellen.
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Hallo dr-geissler,
> Es sei f:X [mm]\to[/mm] Y
> Beweisen Sie, dass
> f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\subseteq[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
> für alle Teilmengen A,B von X, genau dann wenn f injektiv
> ist.
> Mein Frage ist nun eher was fürs Verständnis.
>
> Sei f injektiv.
>
> [mm] $\red{y\in} [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y=f(a) und y=f(b) für [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B.
soll heißen: es exist. [mm] $a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B$ mit $y=f(a)=f(b)$
genauer schreiben! 
>
> Da f injektiv ist gilt a=b [mm]\Rightarrow[/mm] f(a)=f(b) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") bzw. [mm]a\not=[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] f(a) [mm]\not=[/mm] f(b) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ersteres gilt doch nicht, mit Kontraposition ist letzteres äquivalent zu : f injektiv, falls [mm] $f(a)=f(b)\Rightarrow [/mm] a=b$
Dies benutze nun ...
>
> [mm]\Rightarrow a=b\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
wie hast du das denn aus deiner Def. von "injektiv" gefolgert?
Es folgt in der Tat aus der richtigen Definition der Injektivität von f, dass $a=b$ ist, also [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $a\in [/mm] B$, dh. [mm] $a\in (A\cap [/mm] B)$, damit [mm] $f(a)=y\in f(A\cap [/mm] B)$, also hast du die Richtung [mm] $["\Leftarrow"]$ [/mm] gezeigt
Bleibt noch [mm] $["\Rightarrow"]$ [/mm] ...
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(a)=f(b) [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> Jetzt mein Frage: Kann man jetzt folgern, dass die Menge A
> gleich der Menge B ist oder das die Mengen disjunkt sind
> ???
> Ich hab da gewisse Schwierigkeiten, mir das Vorzustellen.
Schaue dir doch mal die Funktion [mm] $f:\IQ^+\to\IR^+$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] an, die ist injektiv, wie sieht es hier mit "deiner Folgerung" aus?
LG
schachuzipus
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Meine Folgerung sagt mir, dass die Folgerung irgendwie schlecht gefolgert war.
So wie ich das jetzt verstanden habe bedeutet das ja nur, dass wenn die Funktion injektiv ist, alle Elemente a [mm] \not= [/mm] b nicht in derselben Bildmenge landen können, weil das der Definition von Injektivität widerspricht und alle Elemente a=b aus der gleichen Definition heraus in der selben Bildmenge abgebildet werden müssen.
Das seh ich doch jetzt richtig.
Das heißt, dass meine zwei Mengen werde gleich sein müssen, noch disjunkt.... richtig???
An der Rückrichtung arbeite ich gerade noch...
Ich habe in der Hinrichtung gezeigt, dass wenn f injektiv ist, die Teilmengenbeziehung gilt. Muss ich jetzt zeigen, dass wenn es gilt es injektiv sein muss ???
Danke schonmal. Das hat mir sehr geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 04.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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