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| Aufgabe | Seien M,N Mengen [mm]f : M \rightarrow N[/mm] eine Funktion. Zeigen Sie:
-b ist genau dann injektiv, wenn für alle [mm]A \subset M[/mm] gilt A=[mm]\overset{-1}{f} (f (A))[/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite gestellt.
N'abend,
ich habe mir bei dieser Aufgabe erstmal die genauen Definitionen von der Injektivität und dem Urbild rausgesucht und dann hab ich mir folgendes gedacht:
Seien alle [mm]x_1 ,x_2 \in A[/mm] mit [mm]f(x_1) = f(x_2)[/mm]
[mm]\overset{-1}{f} (f (x_1))=\overset{-1}{f} (f (x_2))[/mm]
[mm]\Leftrightarrow id_A(x_1) = id_A(x_2)[/mm]
[mm]\Leftrightarrow x_1 = x_2[/mm]
Für jedes Element [mm]x\in A[/mm] [mm]f(x) \in f(A)[/mm], also
[mm]f(A) \circ f(x) = f(f(x)) = x[/mm]
für alle [mm]x\in A[/mm]
Irgendwas kann da nicht stimmen am Schluss müsste ja auch f(f(A))) stehen oder?
Hab ich das damit überhaupt bewiesen das, das für A Teilmenge M gilt oder nur für die Surjektivität?
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Do 01.11.2007 | | Autor: | Memorius |
Wäre ebenfalls an der Lösung interessiert.
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> Aufgabe
> Seien M,N Mengen $ f : M [mm] \rightarrow [/mm] N $ eine Funktion. Zeigen Sie:
> f ist genau dann injektiv, wenn für alle $ A [mm] \subset [/mm] M $ gilt A=$ [mm] \overset{-1}{f} [/mm] (f (A)) $
Hallo,
in dieser Aufgabe sind ja zwie Richtungen zu zeigen:
A. f injektiv ==> es ist A= [mm] \overset{-1}{f} [/mm] (f (A)) für alle A [mm] \subseteq [/mm] M
B. A= [mm] \overset{-1}{f} [/mm] (f (A)) für alle A [mm] \subseteq [/mm] M ==> f ist injektiv.
Zu A.:
Sei f injektiv und sei [mm] A\subseteq [/mm] M.
Zu zeigen ist A= [mm] \overset{-1}{f} [/mm] (f (A)),
d.h. [mm] A\subseteq \overset{-1}{f} [/mm] (f (A)) und [mm] \overset{-1}{f} [/mm] (f [mm] (A))\subseteq [/mm] A.
Zu zeigen ist also, daß
i) [mm] A\subseteq \overset{-1}{f} [/mm] (f (A))
und
[mm] ii)\overset{-1}{f} [/mm] (f [mm] (A))\subseteq [/mm] A
gelten.
Hierfür mußt Du jeweils zeigen, daß ein beliebiges Element der einen auch in der anderen Menge liegt.
B.
Es gelte
A= [mm] \overset{-1}{f} [/mm] (f (A)) für alle A [mm] \subseteq [/mm] M
zu zeigen: dann ist f injektiv.
Da die Voraussetzung für alle teilemengen ilt, gilt sie insbes. auch für die einelementigen Teilmengen.
Für [mm] x_i \in [/mm] M gilt also [mm] \{x_i\}= \overset{-1}{f} [/mm] (f [mm] (\{x_i\})) [/mm] , i=1,2.
> Seien alle $ [mm] x_1 ,x_2 \in [/mm] A $ mit $ [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] $
> $ [mm] \overset{-1}{f} [/mm] (f [mm] (x_1))=\overset{-1}{f} [/mm] (f [mm] (x_2)) [/mm] $
Du tust hier etwas Undefiniertes. Es ist doch das Urbild für Mengen definiert und nicht für Elemente.
Du mußt an dieser Stelle versuchen, mithilfe der einelementigen Mengen und der Voraussetzung die Kurve zu kriegen.#
Gruß v. Angela
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