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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 01.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi an alle.....
Habe folgende Frage zu einer Aufgabe, die ich lösen möchte, aber momentan an dieser Stelle nicht weiter komme.
[mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{x}{1+x^{2}}.
[/mm]
Nun möchte ich zeigen, dass [mm] \forall x\in\IR_{\ge1} [/mm] f injektiv ist.
Meine übliche Vorgehensweise, nämlich [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] zu setzten und zu [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] zu führen geht hier bei mir nicht auf, da [mm] \forall x\in\IR [/mm] f nun mal nicht injektiv ist. Wie kann ich hier dann anderes vorgehen?
Vielleicht kann mir da jemand helfen, wäre dafür sehr dankbar....
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Di 01.05.2007 | | Autor: | Hund |
Halllo,
wenn du injektivität zeigen möchtest, kannst du zum Beispiel einfach gucken ob f streng monoton ist, oder du gehst genauso vor, musst aber um x1=x2 zuerhalten irgendwann deinen Definitionsbereich ausnutzten.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 01.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, Danke schon mal dafür.....
Die Injektivität durch strenge Monotonie zu zeigen leuchtet durchaus ein, aber wo und wie man den Definitionsbereich ausnutzen kann um von $ [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] $ auf $ [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] $ zu kommen, verstehe ich leider immernoch nicht. Erleuterst du mir das vielleicht etwas näher oder führst das einfach aus?
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Di 01.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
nehmen wir zum Beispiel f(x)=x². Auf IR ist f nicht injektiv. Aber auf IR+:
f(x1)=f(x2)
x1²=x2²
x1=+-betrag(x2)
Weil aber nur positive Zahlen in Frage kommen, gilt x1=x2.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 01.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, Danke....
Ein Beispiel an $ [mm] f(x)=\bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] $ wäre mir jedoch lieber
gewesen.
OK, dann gehe ich also folgendermaßen vor:
Auf [mm] \IR [/mm] ist f nicht injektiv. Aber auf [mm] \IR_{\ge 1}:
[/mm]
[mm] f(x_{1})=f(x_{2}) \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}=\bruch{x_{2}}{1+x_{2}^{2}} \gdw
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{2}+x_{2}x_{1}^{2} [/mm]
Und nu? Wo und wie geht jetzt hier der Definitionsbereich mit ein und wie
komme ich jetzt also auf [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] , [mm] \forall x\in \IR_{\ge 1} [/mm] ?
MFG
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> Auf [mm]\IR[/mm] ist f nicht injektiv. Aber auf [mm]\IR_{\ge 1}:[/mm]
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> [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \gdw[/mm]
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> [mm]\bruch{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}=\bruch{x_{2}}{1+x_{2}^{2}} \gdw[/mm]
>
> [mm]x_{1}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{2}+x_{2}x_{1}^{2}[/mm]
>
> Und nu? Wo und wie geht jetzt hier der Definitionsbereich
> mit ein und wie
>
> komme ich jetzt also auf [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] , [mm]\forall x\in \IR_{\ge 1}[/mm]
> ?
Hallo,
...
==> [mm] (x_1-x_2)(1-x_1x_2)=0
[/mm]
==> ... oder ...
Wenn der Definitionsbereich auf [mm] x\ge [/mm] 1 beschränkt ist, kann eine der Bedingungen nicht vorkommen.
Gruß v. Angela
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