Injektive und Surjektive Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mi 05.12.2007 | | Autor: | schotty |
| Aufgabe | Seinen V und W Vektorräume über dem Körper K. Meine Zeige:
(a) Eine lineare Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W ist genau dann injektiv, wenn für jeden Vektorraum Z und irgendwelche linearen Abbildungen g,h:Z [mm] \to [/mm] V auf f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] h stets g = h folgt.
Hinweis: Man betrachte lineare Abbildungen K [mm] \to [/mm] V
(b) Eine lineare Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W ist genau dann surjektiv, wenn für jeden Vektorraum Z und irgendwelche linearen Abbildungen g,h:W [mm] \to [/mm] Z auf f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] h stets g = h folgt.
Hinweis: Man betrachte die "Projektion" und die "Null-Abbildung" W [mm] \to [/mm] W/Bild f.
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Zu (a) hab ich nun folgende Idee gehabt:
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] h [mm] \Rightarrow [/mm] g = h
[mm] \gdw [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g)(x) = (f [mm] \circ [/mm] h)(x) [mm] \Rightarrow [/mm] g(x)=h(x)
[mm] \gdw [/mm] g(f(x)) = h(f(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] g(x)=h(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] x = x
[mm] \gdw [/mm] f injektiv
Da hackt es wohl aber am vorletzten Schritt, bloß weis ich nicht wie es sonst sein soll
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
f injektiv
[mm] \gdw [/mm] ker(f)={0}
[mm] \Rightarrow [/mm] f(0)=0
[mm] \gdw [/mm] g(f(0)) = 0 und h(f(0) = 0
[mm] \gdw [/mm] g(f(0)) = h(f(0)) [mm] \Rightarrow [/mm] 0 = 0
[mm] \gdw [/mm] g(f(0)) = h(f(0)) [mm] \Rightarrow [/mm] g(0) = h(0)
[mm] \gdw [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g)(0) = (f [mm] \circ [/mm] h)(0) [mm] \Rightarrow [/mm] g(0) = h(0)
[mm] \gdw [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g) = (f [mm] \circ [/mm] h) [mm] \Rightarrow [/mm] g = h
Und da hackt es wohl am letzten Schritt...
Zu (b) hab ich leider noch garkeinen Ansatz erarbeiten können
Diese Aufgaben sollen wohl auch recht hart sein, für einen Mathe Stundent in der 7. Woche, aber es hilfr ja alles nichts....
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Do 06.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Zu (a) hab ich nun folgende Idee gehabt:
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
also hier würde ich probieren: wenn $f$ nicht injektiv, dann gibt es ein $v [mm] \not= [/mm] 0$ mit $f(v) = 0$. verwende nun einemal $g: K [mm] \longrightarrow [/mm] V; [mm] \; [/mm] k [mm] \longmapsto [/mm] kv$ und $h: K [mm] \longrightarrow [/mm] V; [mm] \; [/mm] k [mm] \longmapsto [/mm] 0$ (dies sind beides lineare abbildungen). führe dies zu einem widerspruch.
(alternativ kann man hier auch $g: [mm] \ker [/mm] f [mm] \longrightarrow [/mm] V [mm] \; [/mm] x [mm] \longmapsto [/mm] x$, die inklusion, und $h: [mm] \ker [/mm] f [mm] \longrightarrow [/mm] V [mm] \; [/mm] x [mm] \longmapsto [/mm] 0$, die nullabbildung, betrachten).
sei dir aber bewusst, dass dies die deutlich schwierigere richtung ist.
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> f injektiv
> [mm]\gdw[/mm] ker(f)={0}
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(0)=0
an dieser stelle verschenkst du schon zu viel information. letztere aussage gilt nämlich für jede lineare abbildung. also ist die information der injektivität verloren gegangen.
sei etwa $z [mm] \in [/mm] Z$. du willst nun zeigen, dass $g(z) = h(z)$. es gilt nun für alle $z [mm] \in [/mm] Z: [mm] \; [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g)(z) = (f [mm] \circ [/mm] h)(z)$, also $f(g(z)) = f(h(z))$. setzt man nun $x := g(z)$ und $y := h(z)$. was hat man dann dastehen? was folgt aus der injektivität von $f$?
ich denke, wenn du teil (a) verstenden hast, wirst du teil (b) auch mit dem gegebenen hinweis lösen können.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:22 Do 06.12.2007 | | Autor: | schotty |
Oh danke, das is ja schonmal n guter Tipp!
Die hinrichtung is ja auch echt leicht, wenn ich das mit f [mm] \circ [/mm] g ("f HINTER g") nicht mal wieder verdreht hätte ^^
Aber auch die andere Richtung hab ich verstanden.
Damit wird dann warscheinlich auch die eine Richtung der surjektivität machbar sein...ich werds sehn...heute abend...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:39 Do 06.12.2007 | | Autor: | schotty |
So,
" [mm] \Rightarrow [/mm] "
Sei z [mm] \in [/mm] Z
Zu zeigen: g(z) = h(z)
Es gilt für alle z [mm] \in [/mm] Z:
(f [mm] \circ [/mm] g)(z) = (f [mm] \circ [/mm] h)(z)
[mm] \gdw [/mm] f(g(z)) = f(h(z))
Setze:
x:=g(z)
y:=h(z)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(y)
weil f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] x = y
[mm] \gdw [/mm] g(z) = h(z)
[mm] \gdw [/mm] g = h
q.e.d
" [mm] \Leftarrow [/mm] "
Indirekter Beweis:
Annahme: f ist nicht injektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt v [mm] \in [/mm] V für die gilt: v [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] f(v)=0
Seien g:K [mm] \to [/mm] V; k [mm] \mapsto [/mm] kv
und h:K [mm] \to [/mm] V; k [mm] \mapsto [/mm] 0
Es soll gelten:
f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] h [mm] \Rightarrow [/mm] g = h
Damit g = h = 0 wird muss kv = 0 sein.
Da v per Vorraussetzung ungleich 0, muss, da es sich um einen Körper handelt (Nullteilerfrei) k = 0 sein.
Da hackt es nun, den es müsste einen Grund geben, warum k nicht gleich 0 sein kann...den kenn ich leider nicht...oder ist das so nicht gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 06.12.2007 | | Autor: | schotty |
Anders, hat sich wieder ein kleiner Fehler eingeschlichen...
Beim indirekten Beweis muss g [mm] \not= [/mm] h sein, und da v [mm] \not= [/mm] 0 ist darf k muss k auch [mm] \not= [/mm] 0 sein, aber da k=0 sein kann, ist nicht immer erfüllt, das g [mm] \not= [/mm] h, [mm] \rightarrow [/mm] widerspruch
[mm] \rightarrow [/mm] da g = h muss f injektiv sein
also in kurzfassung ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Mo 10.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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