Injektive Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | Es seien X und Y beliebige Mengen und f : X -> Y eine Abbildung. Zeige:
f injektiv [mm] \gdw f(X\setminus [/mm] M) [mm] \subset [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] f(M) für alle M [mm] \subset [/mm] X |
Um diese Aussage zu beweisen sollte man sowohl die Hinrichtung als auch die Rückrichtung zeigen.
Für die Hinrichtung [mm] \Rightarrow
[/mm]
weiß ich die Definition von injektiv.
[mm] \forall x_{1},x_{2} \in [/mm] X : [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Nur leider weiß hier nicht wie ich ansetzen soll um den Beweis zuführen. Mir scheint die Aussage zwar logisch und klar aber mir fehlt die Herangehensweise.
Hätte da jemand ein Tipp?
Danke im voraus
Liebe Grüße
Balodil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 31.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
M leere Menge ist trivial.
also M enthält mindestens 1 Element, Nenne die elemente aus M [mm] x_M [/mm] wenn es mehr als 1eins ist [mm] x1_M, x2_M [/mm] usw. und benutze dei Injektivität.
Bei der Umkehrung, denk an das für ALLE M
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Balodil und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Eine Fallunterscheidung nach [mm] $M=\emptyset$, [/mm] $M$ einelementig, usw. ist hier gar nicht nötig.
Zur Hinrichtung:
Starte wie üblich bei Teilmengen-Beweisen:
Sei [mm] $y\in f(X\setminus [/mm] M)$, d.h. ...
Zu zeigen ist [mm] $y\in Y\setminus [/mm] f(M)$.
Um [mm] $y\not\in [/mm] f(M)$ zu zeigen, nimm [mm] $y\in [/mm] f(M)$ an, d.h. ...
Wende nun die Injektivität von f an und folgere einen Widerspruch.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Di 01.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Ersteinmal vielen Dank :)
Also ich bin dann mal so vorgegangen wie du das gesagt hast.
Sei y [mm] \in f(X\setminus [/mm] M), d.h. y [mm] \not\in [/mm] M
z.z. y [mm] \in [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] f(M)
Sei y [mm] \in [/mm] f(M)
Die Injektivität besagt nun dass [mm] \forall x_{1},x_{2} \in [/mm] X: [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Da y [mm] \not\in [/mm] M und aufgrund der Injektivität ist y [mm] \not\in [/mm] f(M)
Damit wäre die Hinrichtung gezeigt?
Stimmt das so? oder übersehe ich was?
Und wie setzte ich bei der RÜckrichtung an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ersteinmal vielen Dank :)
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> Also ich bin dann mal so vorgegangen wie du das gesagt
> hast.
>
> Sei y [mm]\in f(X\setminus[/mm] M), d.h. y [mm]\not\in[/mm] M
Unfug !
>
> z.z. y [mm]\in[/mm] Y [mm]\setminus[/mm] f(M)
>
> Sei y [mm]\in[/mm] f(M)
> Die Injektivität besagt nun dass [mm]\forall x_{1},x_{2} \in[/mm]
> X: [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
>
> Da y [mm]\not\in[/mm] M und aufgrund der Injektivität ist y [mm]\not\in[/mm]
> f(M)
>
> Damit wäre die Hinrichtung gezeigt?
Nein
> Stimmt das so?
Nein
> oder übersehe ich was?
Ja
Sei y [mm]\in f(X\setminus[/mm] M). Dann gibt es ein x [mm] \in [/mm] X mit:
y=f(x) und x [mm] \notin [/mm] M.
Klar: y [mm] \in [/mm] Y. Wäre nun y [mm] \in [/mm] f(M), so gäbe es ein m [mm] \in [/mm] M mit y=f(m).
Also ist f(x)=f(m). Da f injektiv ist, folgt: x=m [mm] \in [/mm] M , Widerspruch !
FRED
>
> Und wie setzte ich bei der RÜckrichtung an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Und wie setzte ich bei der RÜckrichtung an?
Den nahliegenden Start liefert dir die Definition der Injektivität: Nimm also [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] und zeige [mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
Führe dazu einen Widerspruchsbeweis.
Wende die Voraussetzung [mm] $f(X\setminus M)\subset Y\setminus [/mm] f(M)$ für alle [mm] $M\subset [/mm] X$ auf [mm] $M=\{x_1\}$ [/mm] an.
Mal sehen, wie weit du so schon kommst. Die Rückrichtung erscheint mir etwas schwerer als die Hinrichtung. Wenn du nicht weiter kommst, liefere ich gerne weitere Hinweise nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 01.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Also die Definition von Injektivität lautet ja bekanntlich:
[mm] \forall x_{1},x_{2} \in [/mm] X: [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Zu zeigen ist also [mm] x_{1}=x_{2}
[/mm]
Man nehme nun an [mm] x_{1} \not= x_{2} [/mm] und führt diese Aussage zu einem Widerspruch.
So viel zu dem gesagten.
Wenn ich jetzt [mm] f(X\setminus [/mm] M) [mm] \subset Y\setminus [/mm] f(M) [mm] \forall [/mm] M [mm] \subset [/mm] X auf M = { [mm] x_{1} [/mm] } anwenden soll.
Kann ich dann einfach schreiben
[mm] f(X\setminus x_{1}) \subset [/mm] Y [mm] \setminus f(x_{1}) \forall [/mm] M [mm] \subset [/mm] X
Und dasselbe mit einem [mm] x_{2} [/mm] und dann fällt einem auf, dass wenn [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] sein soll, kann [mm] x_{1} [/mm] nicht ungleich [mm] x_{2} [/mm] sein.
Geht das in die RIchtung?
Vielen Dank im voraus :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Also die Definition von Injektivität lautet ja
> bekanntlich:
>
> [mm]\forall x_{1},x_{2} \in[/mm] X: [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}[/mm]
> = [mm]x_{2}[/mm]
>
> Zu zeigen ist also [mm]x_{1}=x_{2}[/mm]
>
> Man nehme nun an [mm]x_{1} \not= x_{2}[/mm] und führt diese Aussage
> zu einem Widerspruch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt [mm]f(X\setminus[/mm] M) [mm]\subset Y\setminus[/mm] f(M)
> [mm]\forall[/mm] M [mm]\subset[/mm] X auf M = [mm] $\{x_{1}\}$ [/mm] anwenden soll.
>
> Kann ich dann einfach schreiben
> [mm]f(X\setminus x_{1}) \subset[/mm] Y [mm]\setminus f(x_{1}) \forall[/mm]
> M [mm]\subset[/mm] X
Schreibe lieber [mm] $f(X\setminus \{x_{1}\}) \subset Y\setminus f(\{x_{1}\})$.
[/mm]
> Und dasselbe mit einem [mm]x_{2}[/mm] und dann fällt einem auf,
> dass wenn [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] sein soll, kann [mm]x_{1}[/mm] nicht
> ungleich [mm]x_{2}[/mm] sein.
>
> Geht das in die RIchtung?
Hm, das letzte wäre gut, aber warum kann nicht [mm] $x_1=x_2$ [/mm] sein?
Es ist gar nicht nötig [mm] $M=\{x_2\}$ [/mm] zu betrachten.
Überlege dir:
1. [mm] $f(x_2)\in f(X\setminus\{x_1\})$
[/mm]
2. Somit [mm] $f(x_2)\in Y\setminus f(\{x_1\})$
[/mm]
3. [mm] $f(x_1)\not\in Y\setminus f(\{x_1\})$
[/mm]
2. und 3. liefern wegen [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] einen Widerspruch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 01.11.2011 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | | b) f surjektiv [mm] \gdw [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] f(M) [mm] \subset [/mm] f(X [mm] \setminus [/mm] M) [mm] \forall [/mm] M [mm] \subset [/mm] X |
super vielen Dank das klingt sehr einleuchtend. :)
Dazu gibs natürlich noch die entsprechende Teilaufgabe b mit der Surjektivität.
Daran habe ich mich jetzt mal versucht mit meinem gewonnen Wissen aus a)
Erstmal zur Hinrichtung:
Sei y [mm] \in [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] f(M), d.h. x [mm] \notin [/mm] f(M)
z.z. y [mm] \in [/mm] f(X [mm] \setminus [/mm] M) d.h. [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y
Jetzt nehme ich wieder das Gegenteil an also: y [mm] \notin [/mm] f(X [mm] \setminus [/mm] M)
Also existiert kein x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y
Und das ist ja bereits ein Widerspruch zur Definition der Surjektivität:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y.
Und die Hinrichtung wäre gezeigt.
Aber irgendwie kommt mir das nicht richtig vor???
Rückrichtung:
z.z. [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y
Man nehme nun wieder das Gegenteil an:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: existiert kein x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y
Nur fehlt mir hier leider die entsprechende Idee die Sache fortzusetzen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Erstmal zur Hinrichtung:
>
> Sei y [mm]\in[/mm] Y [mm]\setminus[/mm] f(M), d.h. x y [mm]\notin[/mm] f(M)
>
> z.z. y [mm]\in[/mm] f(X [mm]\setminus[/mm] M) d.h. [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] [mm] X$\red\setminus \red [/mm] M$: f(x) = y
>
> Jetzt nehme ich wieder das Gegenteil an also: y [mm]\notin[/mm] f(X
> [mm]\setminus[/mm] M)
>
> Also existiert kein x [mm]\in[/mm] [mm] X$\red\setminus \red [/mm] M$: f(x) = y
> Und das ist ja bereits ein Widerspruch zur Definition der
> Surjektivität:
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X: f(x) = y.
>
> Und die Hinrichtung wäre gezeigt.
>
> Aber irgendwie kommt mir das nicht richtig vor???
Siehe meine roten Korrekturen. Daher erhältst du so noch keinen Widerspruch zur Surjektivität von $f$.
Einfacher geht es hier mit einem direkten statt indirekten Beweis. Starte wie oben mit:
Sei [mm] $y\in Y\setminus [/mm] f(M)$, d.h. [mm] $y\in [/mm] Y$ mit [mm] $y\notin$ [/mm] f(M).
Zu zeigen ist [mm] $y\in f(X\setminus [/mm] M)$.
Da f surjektiv ist, existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$.
Überlege dir, dass [mm] $x\notin [/mm] M$ gelten muss (Widerspruchsbeweis) und folgere [mm] $y\in f(X\setminus [/mm] M)$.
> Rückrichtung:
>
> z.z. [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X: f(x) = y
> Man nehme nun wieder das Gegenteil an:
> [mm]\red\forall[/mm][mm]\green\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] Y: existiert kein x [mm]\in[/mm] X: f(x) = y
Es muss am Anfang [mm] $\exists$ [/mm] statt [mm] $\forall$ [/mm] heißen.
Auch hier geht es einfacher direkt statt indirekt. Die Rückrichtung ist übrigens einfacher als die bei Aufgabe a).
Sei [mm] $y\in [/mm] Y$. Zu zeigen ist die Existenz von einem [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$.
Nun gilt es irgendwie die Voraussetzung [mm] $Y\setminus f(M)\subset f(X\setminus [/mm] M)$ für alle [mm] $M\subset [/mm] X$ ins Spiel zu bringen. Nutze sie mal für [mm] $M=\emptyset$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Balodil |
super vielen Dank für die Hilfestellungen :).
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