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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Do 27.11.2008 | | Autor: | snoopy84 |
| Aufgabe | Kann die Verkettung zweier nicht injektiver Abbildungen injektiv sein?
Kann die Verkettung zweier nicht surjektiver Abbildungen surjektiv sein?
Kann die Verkettung zweier bijektiver Abbildungen bijektiv sein? |
Guten Abend,
ich hab ein paar problemchen mit der aufgabe und hoffe dass mir jemand von euch weiterhelfen kann.
also bei der injektivität glaub ich nicht dass das sein kann.Denn wenn ich eine nicht injektive Funktion,z.B. f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^2, [/mm] zweimal anwende,hat ein wert immernoch 2 urbilder.
kann man das so machen?
schönen abend noch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 27.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann die Verkettung zweier nicht injektiver Abbildungen
> injektiv sein?
> Kann die Verkettung zweier nicht surjektiver Abbildungen
> surjektiv sein?
> Kann die Verkettung zweier bijektiver Abbildungen bijektiv
> sein?
> Guten Abend,
>
> ich hab ein paar problemchen mit der aufgabe und hoffe dass
> mir jemand von euch weiterhelfen kann.
> also bei der injektivität glaub ich nicht dass das sein
> kann.Denn wenn ich eine nicht injektive Funktion,z.B. f:
> [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^2,[/mm] zweimal anwende,hat ein wert
> immernoch 2 urbilder.
wieso sollte ein Wert (mindestens) zwei Urbilder haben? Hat jeder Wert immer noch mindestens zwei Urbilder? Spezielle Werte?
(Also oben sehe ich bei [mm] $f(x)\,=\,x^2$ [/mm] auch, dass [mm] $y\,=\,0$ [/mm] nur für [mm] $x\,=\,0$ [/mm] angenommen wird.)
Der Sinn eines Beweises ist, dass man schrittweise nachvollziehbare Argumente bringt (vor allem müssen die Argumente nachvollziehbar sein).
Du schreibst einfach, dass das nicht sein kann, weil es halt so ist.
(Oben steht doch bei Dir nichts anderes, als dass die Verkettung nicht injektiv ist, weil bei der Verkettung ein Wert mindestens zwei Urbilder hat; das ist aber nur eine Umformulierung der Behauptung, dass die Verkettung nicht injektiv ist. Wo ist der Beweis dazu?)
Das ist kein Beweis!
> kann man das so machen?
Nein. Bzw. es fehlt jegliche Präzisierung, was Du meinst, und es fehlt jegliche Begründung, wie Du zu der Behauptung kommst.
Außerdem sieht es oben so aus, als dass Du meinst, dass man eine Funktion mit sich selbst verkettet betrachten würde. So ist die Aufgabenstellung aber nicht formuliert (zudem müßte dann, wenn $f: M [mm] \to [/mm] N$ wäre, damit $f [mm] \circ [/mm] f$ überhaupt Sinn machen würde, dann $N [mm] \subset [/mm] M$ gelten.)
Überlege Dir folgendes:
Sei $f: N [mm] \to [/mm] P$ und $g: M [mm] \to [/mm] N$. Dann ist $f [mm] \circ [/mm] g: M [mm] \to [/mm] P.$
Überlege Dir:
Wenn $f [mm] \circ [/mm] g$ injektiv ist, so muss in notwendiger Weise auch [mm] $\,g\,$ [/mm] injektiv sein.
Wie läßt sich also die Frage oben beantworten?
> Kann die Verkettung zweier nicht surjektiver Abbildungen
> surjektiv sein?
Analog:
Hier sei nun $f [mm] \circ [/mm] g: M [mm] \to [/mm] P$ surjektiv. Zeige, dass dann [mm] $\,f\,$ [/mm] surjektiv sein muss.
> Kann die Verkettung zweier bijektiver Abbildungen bijektiv
> sein?
Sollte das wirklich heißen: 'Die Verkettung zweier bijektiver Funktionen...'...
Wenn die Frage wirklich so formuliert ist: Ja, die Verkettung zweier Bijektionen ist sogar stets wieder eine Bijektion.
Ich schätze aber mal, Du hast Dich vertippt und meintest, dass hier eigentlich die Frage ist:
Kann die Verkettung zweier nicht bijektiver Funktionen bijektiv sein?
Und das ist witzig, dass das tatsächlich klappt:
Wir betrachten $f: [mm] \IR \to [0,\,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x)=|x|\;\;\;\; [/mm] (x [mm] \in \IR)$. [/mm] Weiter setze $g: [mm] [0,\,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x\;\;\;\; [/mm] (x [mm] \in [0,\,\infty))\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $\,f\,$ [/mm] nicht injektiv und daher auch nicht bijektiv. Zudem ist [mm] $\,g\,$ [/mm] nicht surjektiv und daher auch nicht bijektiv. Weiter gilt aber
$$f [mm] \circ g:[0,\infty) \to [0,\infty);\;(f \circ g)(x)=f(g(x))=|g(x)|=|x|\;\;\underset{\text{weil hier }x \ge 0}{=}\;\;x\;\;\;\; [/mm] (x [mm] \in [0,\,\infty))\,,$$
[/mm]
und somit ist $f [mm] \circ [/mm] g$ sowohl injektiv als auch surjektiv, ergo eine Bijektion.
Zusatzfrage:
Wieso widerspricht die zuletzt gezeigte Aussage (Verkettung nicht bijektiver Funktionen kann bijektiv sein) nicht den vorhergehenden beiden Aussagen?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Sa 29.11.2008 | | Autor: | snoopy84 |
Vielen Dank für deine Antwort.ich werde jetzt mal gründlich drüber nachdenken:).
werd dann nochmal schreiben
schönes wochenende
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