Injektiv, bijektiv, surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es seien f: A-->B eine Abbildung und X c A, Y c B. Entscheide jeweils, ob folgende Inklusionen richtig oder falsch sind, wenn man i) keine Forderungen an f stellt, ii) f injektiv ist, iii) f bijektiv ist, iv) f surjektiv ist. Beweise deine Antwort!
a) X [mm] \subset f^{-1}(f(X))
[/mm]
b) X [mm] \supset f^{-1}(f(X))
[/mm]
D.h. man muss quasi 8 Fälle betrachten, wenn eine Inklusion falsch ist, soll man ein konkretes Gegenbeispiel geben... |
Man soll ja quasi zeigen, dass gilt x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \in f^{-1}(f(X)) [/mm] (Verkettung)
, für die einzelnen Fälle.
Wie soll man denn da starten? Vielleicht könnte mal jemand das ganze für 2 Fälle durchführen, damit ich sehe, wie's geht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rollroll,
> D.h. man muss quasi 8 Fälle betrachten
Ganz so komplex ist die Sache nicht: Wenn eine Aussage z.B. schon für alle Abbildungen [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ gilt, braucht man die Fälle f injektiv/surjektiv/bijektiv nicht mehr zu untersuchen.
> Man soll ja quasi zeigen, dass gilt x [mm]\in[/mm] X und x [mm]\in f^{-1}(f(X))[/mm]
> (Verkettung)
Nein, bei [mm] $f^{-1}(f(X))$ [/mm] handelt es sich NICHT um die Verkettung zweier Abbildungen [mm] $f^{-1}$ [/mm] und $f$ (eine Abbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] gibt es ja nichtmals, wenn f nicht gerade bijektiv ist).
Für [mm] $X\subset [/mm] A$ und [mm] $Y\subset [/mm] B$ ist vielmehr
[mm] $f(X):=\{b\in B|\exists x\in X: f(x)=b\}$ [/mm] und
[mm] $f^{-1}(Y):=\{a\in A|f(a)\in Y\}$.
[/mm]
> Wie soll man denn da starten? Vielleicht könnte mal jemand
> das ganze für 2 Fälle durchführen, damit ich sehe, wie's
> geht...
Ich glaube, ich verrate nicht zuviel, wenn ich dir mitteile, dass beide Aussagen unter gewissen der Voraussetzungen i) bis iv) stimmen. Daher würde ich dir vorschlagen, versuche einfach mal beide Aussagen zu beweisen und schau dabei, ob du irgendwelche der Voraussetzungen i) bis iv) gebrauchen kannst.
Beweise von Teilmengenbeziehungen kann man fast immer gleich anfangen:
Bei a): Sei [mm] $a\in [/mm] X$. Zu zeigen ist [mm] $a\in f^{-1}(f(X))$.
[/mm]
Bei b): Sei [mm] $a\in f^{-1}(f(X))$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $a\in [/mm] X$.
Sowohl für a) als auch für b) solltest du dir zunächst klarmachen und hier posten, was [mm] $a\in f^{-1}(f(X))$ [/mm] eigentlich bedeutet.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Oh, ok, ich dachte , es handelt sich um einen Verkettung, weil das gerade unser Thema ist. Dass eine Verkettung nur ex, wenn f bijektiv ist, hatten wir auch nocht nicht. Deshalb bin ich jetzt überfragt, was [mm] f^{-1}(f(X)) [/mm] überhaupt bedeutet...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Oh, ok, ich dachte , es handelt sich um einen Verkettung,
> weil das gerade unser Thema ist. Dass eine Verkettung nur
> ex, wenn f bijektiv ist, hatten wir auch nocht nicht.
Verkettungen existieren schon auch von nicht bijektiven Abbildungen. Nur die Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] zu einer Abbildung f existiert nur, wenn f bijektiv ist.
> Deshalb bin ich jetzt überfragt, was [mm]f^{-1}(f(X))[/mm]
> überhaupt bedeutet...
Im meinem ersten Post habe ich dir ja die Definitionen vom Bild $f(X)$ und vom Urbild [mm] $f^{-1}(Y)$ [/mm] für Mengen [mm] $X\subset [/mm] A$ und [mm] $Y\subset [/mm] B$ gegeben. Hier noch einmal:
[mm] $f(X):=\{b\in B|\exists x\in X: f(x)=b\}$ [/mm] und
[mm] $f^{-1}(Y):=\{a\in A|f(a)\in Y\}$.
[/mm]
Somit ist [mm] $f^{-1}(f(X))=\{a\in A|f(a)\in f(X)\}=\{a\in A|\exists x\in X: f(x)=f(a)\}$ [/mm] (*).
Zur a):
Sei [mm] $a\in [/mm] X$. Zu zeigen ist [mm] $a\in f^{-1}(f(X))$.
[/mm]
Nach (*) ist also zu zeigen, dass ein [mm] $x\in [/mm] X$ existiert mit $f(x)=f(a)$. Hast du eine Idee, was wir als dieses x nehmen können?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Hmm, verstehe jetzt die Frage nicht ganz...
die Aussage wäre doch war , wenn x = a gelten würde...
Aber das hast du ja wahrscheinlich nicht gemeint...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hmm, verstehe jetzt die Frage nicht ganz...
> die Aussage wäre doch war , wenn x = a gelten würde...
> Aber das hast du ja wahrscheinlich nicht gemeint...
Doch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Hmm, verstehe jetzt die Frage nicht ganz...
> die Aussage wäre doch war , wenn x = a gelten würde...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau, für $x=a$ gilt [mm] $x\in [/mm] X$ und $f(x)=f(a)$. Also ist [mm] $a\in f^{-1}(f(X))$ [/mm] wie gewünscht.
Ist dir der Beweis der Aussage a) so weit klar?
Wir haben keine Injektivität oder Surjektivität von f benötigt. Somit stimmt a) in allen Fällen i) bis iv)!
Nun zur b):
Sei [mm] $a\in f^{-1}(f(X))$, [/mm] d.h. ...?
Zu zeigen ist [mm] $a\in [/mm] X$.
Tipp: Du brauchst hier, dass f injektiv ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
naja, per Definition für [mm] f^{-1}(f(X)), [/mm] müsste ja eigentlich gelten:
a [mm] \in f^{-1}(f(X)) [/mm] = a [mm] \in [/mm] {a [mm] \in [/mm] A | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = f(a) }
Und dies gilt nur dann, wenn es für jedes y in B höchstens ein Urbild gibt, oder wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> naja, per Definition für [mm]f^{-1}(f(X)),[/mm] müsste ja
> eigentlich gelten:
>
> a [mm]\in f^{-1}(f(X))[/mm] = a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a [mm]\in[/mm] A | [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X: f(x)
> = f(a) }
Da gehts aber durcheinander !
Es gilt: a \in f^{-1}(f(X)) \gdw f(a) \in f(X)
FRED
>
> Und dies gilt nur dann, wenn es für jedes y in B
> höchstens ein Urbild gibt, oder wie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
> > a [mm]\in f^{-1}(f(X))[/mm] = a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Was ist das denn jetzt???, konnte man meine mitteilung nicht richtig lesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich habe geschrieben:
a [mm] \in f^{-1}(f(X)) \gdw [/mm] f(a) [mm] \in [/mm] f(X)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Und dies gilt nur, wenn es höchstens ein urbild gibt, oder wie?
Ich weiß jetzt nicht ganz, wie mich das bei dem Beweis weiterbringt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
In jedem Fall ist [mm] $a\in f^{-1}(f(X))$ [/mm] nach meiner Gleichung (*) aus einem vorherigen Post gleichbedeutend mit [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $\exists x\in [/mm] X: f(x)=f(a)$. Da braucht es noch nicht die Injektivität von f.
Aber wenn nun f injektiv ist, kannst du aus $f(x)=f(a)$ was schließen?
Gelangst du damit wie gewünscht zum Resultat [mm] $a\in [/mm] X$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
wenn es injektiv ist, dann ist a doch quasi x`, so dass f(x) = f(x`) --> x=x`
Bist du dir übrigens sicher, dass der Beweis bei a) ausreichend ist, weil uns gesagt wurde, dass wir insgesamt 8 Einzelfälle prüfen müssten..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> wenn es injektiv ist, dann ist a doch quasi x', so dass
> f(x) = f(x') --> x=x'
Möglicherweise meinst du das richtige: Aus $f(x)=f(a)$ folgt $x=a$. Da [mm] $x\in [/mm] X$ gilt, folgt wie gewünscht [mm] $a\in [/mm] X$.
> Bist du dir übrigens sicher, dass der Beweis bei a)
> ausreichend ist, weil uns gesagt wurde, dass wir insgesamt
> 8 Einzelfälle prüfen müssten..
A priori schon. Wir haben aber nun bewiesen, dass a) für alle Abbildungen [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ gilt. Also gilt a) insbesondere für injektive, bijektive und surjektive Abbildungen. Also konnten wir bei a) alle vier Einzelfälle simultan lösen.
Bei b) geht das nicht mehr. Wir konnten b) nur für f injektiv zeigen. Immerhin gilt b) dann insbesondere für bijektive Abbildungen f. Bleibt zu untersuchen, wie sich b) für surjektive und beliebige Abbildungen f verhält. Wenn es für surjektive Abbildungen schon i.A. nicht gilt, gilt es erst recht nicht für alle beliebigen Abbildungen [mm] $f\colon A\to [/mm] B$.
Suchen wir also mal nach einem Beispiel einer surjektiven Abbildung f, die b) verletzt. Was fällt dir denn für eine surjektive nicht injektive Abbildung ein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
,,Immerhin gilt b) dann insbesondere für bijektive Abbildungen f.''
Woher weiß man das? Ist jede injektive Abb auch bijektiv?
Und wie kann man begründen, dass vorige Umformung nur für injektive Abb gilt?
Bsp für surjektive Abb, f:IR--> IR, x--> [mm] x^2, [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> ,,Immerhin gilt b) dann insbesondere für bijektive
> Abbildungen f.''
> Woher weiß man das? Ist jede injektive Abb auch
> bijektiv?
Das nicht, aber jede bijektive Abbildung ist injektiv.  Also gelten Aussagen über injektive Abbildungen insbesondere für bijektive Abbildungen.
> Und wie kann man begründen, dass vorige Umformung nur
> für injektive Abb gilt?
Dass wir aus $f(x)=f(a)$ auf $x=a$ schließen konnten, lieferte uns gerade die Definition von $f$ injektiv.
> Bsp für surjektive Abb, f:IR--> IR, x--> [mm]x^2,[/mm] oder?
Diese Abbildung ist nicht injektiv, das ist schon einmal gut. Surjektiv ist sie allerdings nicht. Aber [mm] $f\colon\IR\to[0,\infty), x\mapsto x^2$ [/mm] ist surjektiv (und auch nicht injektiv).
Betrachte z.B. mal die Menge einelementige Menge [mm] $X=\{2\}\subset\IR$. [/mm] Wie sieht [mm] $f^{-1}(f(X))$ [/mm] aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 01.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Etwa so? f(2) = 4, [mm] f^{-1}(4) [/mm] = 2 und -2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Etwa so? f(2) = 4, [mm]f^{-1}(4)[/mm] = 2 und -2
Bis auf die Schreibweise stimmt es!
Wegen $f(2)=4$ ist [mm] $f(\{2\})=\{4\}$. [/mm] Weiter gilt [mm] $f^{-1}(\{4\})=\{2,-2\}$.
[/mm]
Ist also [mm] $\{2\}\supset f^{-1}(f(\{2\}))$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Mi 02.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Nein, und damit haben wir doch gezeigt, dass die Aussage nur für injektive und bijektive Abbildungen gilt, oder?
Zu meinem Erstaunen ( :-( ) habe ich festgestellt, dass die Aufgabe noch weitergeht mit Teil c) und d) [gleiche Aufgstellung]...
c) Y [mm] \subset f(f^{-1} [/mm] (Y))
d) Y [mm] \supset f(f^{-1} [/mm] (Y))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 02.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Könntest du mir da evtl. auch weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Ich verrate, glaube ich, nicht zu viel, wenn ich dir sage, dass sich c) für surjektive Abbildungen $f$ und d) für beliebige Abbildungen $f$ beweisen lässt.
d) erscheint mir einfacher als c).
Starte in beiden Fällen wie üblich bei Teilmengenbeweisen mit:
Sei [mm] $\ldots\in\ldots$ [/mm] .
Zu zeigen ist [mm] $\ldots\in\ldots$.
[/mm]
Also bei d) mit:
Sei [mm] $b\in f(f^{-1}(Y))$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $b\in [/mm] Y$.
Mache dir dann klar, was [mm] $b\in f(f^{-1}(Y))$ [/mm] bedeutet. Dazu brauchst du wieder die Definitionen von Bild und Urbild, wie ich sie dir in den ersten Posts zweimal gegeben habe.
Bei c) nutze die Surjektivität von $f$, die wir voraussetzen.
Da wir c) also nur für $f$ surjektiv zeigen können, benötigen wir dann noch Gegenbeispiele für welche Fälle? Reicht wieder eines?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 02.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, ich versuch's dann mal und poste morgen mein ergebnis (hab heute leider keine zeit mehr...)
Kanst du dann bitte mal morgen vormittag oder so drüber gucken, weil ich die richtige lösung bis morgen Abend brauche...
Stimmt übrigens, was ich als Mitteilung zu b) geschrieben habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, ich versuch's dann mal und poste morgen mein ergebnis
> (hab heute leider keine zeit mehr...)
> Kanst du dann bitte mal morgen vormittag oder so drüber
> gucken, weil ich die richtige lösung bis morgen Abend
> brauche...
Ich gucke, ob ich es morgen vormittag oder nachmittag schaffe, verspreche aber nichts...
> Stimmt übrigens, was ich als Mitteilung zu b) geschrieben
> habe?
Du schriebst:
> Nein, und damit haben wir doch gezeigt, dass die Aussage nur für injektive und bijektive Abbildungen gilt, oder?
Du meinst, glaube ich, das richtige: Wir haben gezeigt, dass die Aussage IM ALLGEMEINEN für surjektive bzw. beliebige Abbildungen nicht gilt.
(Wir haben nicht ausgeschlossen, dass es irgendwelche nicht injektiven Abbildungen gibt, für die die Aussage trotzdem stimmt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 02.11.2011 | | Autor: | s9mamajl |
Sagt mal:
Wenn wie in i) keine Forderungen an f gestellt werden, bzw. in iii) die Funktion nur surjektiv sein muss, dann kann man doch als Gegenbeispiel angebgen:
f: A->B, x-> x², wobei [mm] A=\IR [/mm] und [mm] B=\IN.
[/mm]
Dann gäbe es keine Umkehrfunktion von f und a),b),c),d) wären für i) und iii) nicht zu definieren, oder übersehe ich etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo s9mamajl,
> Wenn wie in i) keine Forderungen an f gestellt werden,
> bzw. in iii) die Funktion nur surjektiv sein muss, dann
> kann man doch als Gegenbeispiel angebgen:
> f: A->B, x-> x², wobei [mm]A=\IR[/mm] und [mm]B=\IN.[/mm]
Dies gibt aber keine Funktion nach [mm] $\IN$, [/mm] sondern z.B. nach [mm] [0,\infty).
[/mm]
> Dann gäbe es keine Umkehrfunktion von f
Ja.
> und a),b),c),d)
> wären für i) und iii) nicht zu definieren, oder übersehe
> ich etwas?
In a) bis d) ist mit [mm] $f^{-1}$ [/mm] keine Umkehrfunktion von [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ gemeint, sondern das Urbild einer Teilmenge [mm] $Y\subset [/mm] B$. Es ist definiert durch
[mm] $f^{-1}(Y):=\{a\in A|f(a)\in Y\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Do 03.11.2011 | | Autor: | s9mamajl |
Och, wie blöde von mir!
Das habe ich mir am Anfang meiner Überlegung auch gesagt und dann doch missachtet.
Okay, was mein Fehler...
Vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Also, ich hatte mal was probiert:
d) Sei b [mm] \in f(f^{-1}(Y))
[/mm]
z.z.: b [mm] \in [/mm] Y
--> [mm] f(f^{-1}(Y)) [/mm] = {b \ in B | [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: f(y) = f(b) }, wahrscheinlich hab ich's mir zu leicht gemacht, oder?
-> f(y) = f(b) --> y = b
c) hier weiß ich leider nicht, wie ich die definition von surjektiv verwenden soll...
Reicht das Gegenbsp. für eine bijektive Abb (weil diese ja auch injektiv ist)?
also z.B.: y = x+1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> d) Sei b [mm]\in f(f^{-1}(Y))[/mm]
> z.z.: b [mm]\in[/mm] Y
>
> --> [mm]f(f^{-1}(Y))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$b \ in B | [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y: f(y) = f(b) $\}$,
> wahrscheinlich hab ich's mir zu leicht gemacht, oder?
Leider stimmt das in der Tat nicht. Für $b\in B$ und $y\in Y$ kannst du i.A. gar nicht $f(b)$ und $f(y)$ bilden: Dazu müsste $b,y\in A$ gelten.
Es gilt $f(f^{-1}(Y))=\{b\in B|\exists a\in f^{-1}(Y): f(a)=b\}$.
> -> f(y) = f(b) --> y = b
Diese Folgerung könntest du gerade treffen, wenn du f als injektiv voraussetzen würdest.
Sei $b\in f(f^{-1}(Y))$.
Zu zeigen ist $b\in Y$.
Da $b\in f(f^{-1}(Y))$ existiert ein $a\in f^{-1}(Y)$ mit $f(a)=b$.
Was bedeutet $a\in f^{-1}(Y)$? Hilft uns das dazu, $b\in Y$ zu zeigen?
> c) hier weiß ich leider nicht, wie ich die definition von
> surjektiv verwenden soll...
Ich schrieb dir zu c) und d):
Starte in beiden Fällen wie üblich bei Teilmengenbeweisen mit:
Sei $\ldots\in\ldots$.
Zu zeigen ist $\ldots\in\ldots$.
Bei c) sieht das also so aus:
Sei $b\in Y$.
Zu zeigen ist $b\in f(f^{-1}(Y))$.
Es gilt $b\in Y\subset B$, also $b\in B$. Die Surjektivität von $f$ liefert die Existenz eines $a\in A$ mit ...? Dieses $a$ werden wir später brauchen.
Wo wollen wir hin? Wir wollen $b\in f(f^{-1}(Y))$ zeigen, d.h. wir müssen zeigen, dass ein $a'\in f^{-1}(Y)$ existiert mit $f(a')=b$.
Vielleicht tut es ja schon $a'=a$? Prüfe also, ob $a\in f^{-1}(Y)$ gilt und ob $f(a)=b$ gilt.
> Reicht das Gegenbsp. für eine bijektive Abb (weil diese
> ja auch injektiv ist)?
> also z.B.: y = x+1
Wenn wir mit dieser Abbildung $f\colon\IR\to\IR$ ein Gegenbeispiel konstruieren könnten, wären wir fertig. Das Problem: Das wird uns nicht gelingen. Denn dieses $f$ ist ja auch surjektiv und für surjektive Abbildungen beweisen wir ja gerade, dass c) gilt!
Um überhaupt eine Chance zu haben, benötigen wir also eine nicht surjektive (aber injektive) Abbildung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
d) Na x^{-1}(Y) = { a\in A | f(a) \in Y) und a ist dann Element dieser Menge, wüsste aber nicht, wie uns das in diesem Fall weiterhelfen soll...
c) Die Surjektivität von liefert die Existenz eines a \in A mit ...???
Ich weiß nur , dass surjektiv bedeutet dass es mindestens ein Urbild gibt. , d.h.: \forall y \in N \exists x \in M : f(x) = y
f: IR \ge 0--> IR, x-->x^2 ist injektiv, nicht surjektiv
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Ich wiederhole der Übersicht halber jeweils nochmal den Anfang der Beweise, wie wir sie schon hatten:
d) Sei [mm] $b\in f(f^{-1}(Y))$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $b\in [/mm] Y$.
Da [mm] $b\in f(f^{-1}(Y))$ [/mm] existiert ein [mm] $a\in f^{-1}(Y)$ [/mm] mit $f(a)=b$.
> d) Na [mm] f^{-1}(Y) [/mm] = { [mm] a\in [/mm] A | f(a) [mm] \in [/mm] Y} und a ist dann
> Element dieser Menge,
Genau, also [mm] $f(a)\in [/mm] Y$!
> wüsste aber nicht, wie uns das in
> diesem Fall weiterhelfen soll...
Wir hatten ja $f(a)=b$ und nun haben wir [mm] $f(a)\in [/mm] Y$. Also wie gewünscht [mm] $b\in [/mm] Y$.
c) Sei [mm] $b\in [/mm] Y$.
Zu zeigen ist [mm] $b\in f(f^{-1}(Y))$. [/mm]
Es gilt [mm] $b\in Y\subset [/mm] B$, also [mm] $b\in [/mm] B$.
> c) Die Surjektivität von liefert die Existenz eines a [mm] \in [/mm]
> A mit ...???
> Ich weiß nur , dass surjektiv bedeutet dass es
> mindestens ein Urbild gibt.
Genauer: Alle Elemente des Bildbereichs haben (mindestens) ein Urbild. [mm] $b\in [/mm] B$ ist ein Element des Bildbereichs. Also hat $b$ ein Urbild, d.h. es existiert ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit $f(a)=b$.
> , d.h.: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm]
> x [mm] \in [/mm] M : f(x) = y
Wenn du es hiermit machen möchtest: Das ist die Definition von [mm] $f\colon M\to [/mm] N$ surjektiv. Hier haben wir [mm] $f\colon A\to [/mm] B$. Also: [mm] $\forall y\in B\exists x\in [/mm] A: f(x)=y$. Für [mm] $y:=b\in [/mm] B$ erhalten wir ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit $f(x)=y$. Nennen wir es (um konsistent zu bleiben) $a$ statt $x$. Also $f(a)=b$.
Nachdem wir also nun ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit $f(a)=b$ haben, nochmal:
Wo wollen wir hin? Wir wollen [mm] $b\in f(f^{-1}(Y))$ [/mm] zeigen, d.h. wir müssen zeigen, dass ein [mm] $a'\in f^{-1}(Y)$ [/mm] existiert mit $f(a')=b$.
Vielleicht tut es ja schon $a'=a$? Prüfe also, ob [mm] $a\in f^{-1}(Y)$ [/mm] gilt und ob $f(a)=b$ gilt.
Verwende für ersteres die Definition von [mm] $f^{-1}(Y)$ [/mm] und [mm] $b\in [/mm] Y$ (mit letzterem waren wir ja gestartet).
> f: IR [mm] \ge [/mm] 0--> IR, [mm] x-->x^2 [/mm] ist injektiv, nicht surjektiv
Dann betrachte mal [mm] $Y=\IR$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Verliere gerade so ein bisschen die Übersicht... Also Teil d) ist ja dann auch abgeschlossen. Hier nochmal der fertige(?) Beweis zur Kontrolle:
Sei b [mm] \in f(f^{-1}(Y))
[/mm]
z.z.: b [mm] \in [/mm] Y
Es gilt [mm] f(f^{-1}(Y)) [/mm] = {b [mm] \in [/mm] B | [mm] \exists [/mm] a [mm] \in f^{-1}(Y): [/mm] f(a) = b}
Da b [mm] \in f(f^{-1}(Y)) [/mm] existiert ein a [mm] \in f^{-1}(Y) [/mm] mit f(a) = b
--> a [mm] \in f^{-1}(Y) [/mm] bedeutet, dass a [mm] \in [/mm] {a [mm] \in [/mm] A| f(a) [mm] \in [/mm] Y} -->
also f(a) [mm] \in [/mm] Y
Da f(a) = b gilt, ist wie gewünscht b [mm] \in [/mm] Y.
Ist dieser Beweis so vollständig und richtig?
___________________________________________________________
Was wir haben:
zu c)
Sei b [mm] \in [/mm] Y
z.z.: b [mm] \in f(f^{-1}(Y))
[/mm]
Es gibt ein b [mm] \in [/mm] Y c B, also b [mm] \in [/mm] B
Wenn man jetzt die Surjektivität von f voraussetzt, folgt, dass
alle Elemente des Bildbereichs (mindestens) ein Urbild haben. b [mm] \in [/mm] B ist ein Element des Bildbereichs. Also hat b ein Urbild, d.h. es existiert ein a [mm] \in [/mm] A mit f(a)=b.
Jetzt muss man zeige, dass ein a' [mm] \in f^{-1}(Y) [/mm] existiert, mit f(a') =b
Für [mm] f^{-1}(Y) [/mm] = {a [mm] \in [/mm] A | f(a) [mm] \in [/mm] Y } und b [mm] \in [/mm] Y gilt: f(a) = b
Also gilt a' = a , oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Verliere gerade so ein bisschen die Übersicht... Also Teil
> d) ist ja dann auch abgeschlossen. Hier nochmal der
> fertige(?) Beweis zur Kontrolle:
>
> Sei b [mm]\in f(f^{-1}(Y))[/mm]
> z.z.: b [mm]\in[/mm] Y
>
> Es gilt [mm]f(f^{-1}(Y))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {b [mm]\in[/mm] B | [mm]\exists[/mm] a [mm]\in f^{-1}(Y):[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> f(a) = b}
>
> Da b [mm]\in f(f^{-1}(Y))[/mm] existiert ein a [mm]\in f^{-1}(Y)[/mm] mit
> f(a) = b
> --> a [mm]\in f^{-1}(Y)[/mm] bedeutet, dass a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a [mm]\in[/mm] A| f(a)
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y} -->
> also f(a) [mm]\in[/mm] Y
>
> Da f(a) = b gilt, ist wie gewünscht b [mm]\in[/mm] Y.
>
> Ist dieser Beweis so vollständig und richtig?
Ja
>
> ___________________________________________________________
> Was wir haben:
>
> zu c)
> Sei b [mm]\in[/mm] Y
> z.z.: b [mm]\in f(f^{-1}(Y))[/mm]
>
> Es gibt ein b [mm]\in[/mm] Y c B, also b [mm]\in[/mm] B
> Wenn man jetzt die Surjektivität von f voraussetzt,
> folgt, dass
> alle Elemente des Bildbereichs (mindestens) ein Urbild
> haben. b [mm]\in[/mm] B ist ein Element des Bildbereichs. Also hat b
> ein Urbild, d.h. es existiert ein a [mm]\in[/mm] A mit f(a)=b.
> Jetzt muss man zeige, dass ein a' [mm]\in f^{-1}(Y)[/mm] existiert,
> mit f(a') =b
> Für [mm]f^{-1}(Y)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {a [mm]\in[/mm] A | f(a) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y } und b [mm]\in[/mm] Y
> gilt: f(a) = b
>
> Also gilt a' = a , oder?
Ja, es ist doch f(a)=b [mm] \in [/mm] Y, somit ist a [mm] \in f^{-1}(Y)
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Gut, da die Aussage im Allg. für surjektive Abbildungen gilt, fehlt ja jetzt nur noch der Gegenbeweis.
f: IR größergleich0--> IR; x--> [mm] x^{2} [/mm] ist injektiv nicht surjektiv.
Wenn man diesen ,,Gegenbeweis'' fertig gerechnet hat, kann man doch folgern, dass die Inklusion im Allgemeinen für injektive und bijektive Abbildungen falsch ist, oder?
Die letzte Frage, die sich dann noch stellt, ist, wie man diesen Gegenbeweis führt..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
c)
> f: IR größergleich0--> IR; x--> [mm]x^{2}[/mm] ist injektiv nicht
> surjektiv.
> Wenn man diesen ,,Gegenbeweis'' fertig gerechnet hat, kann
> man doch folgern, dass die Inklusion im Allgemeinen für
> injektive und bijektive Abbildungen falsch ist, oder?
Nein, es folgt dann: Für injektive und erst recht für beliebige Abbildungen ist die Aussage im Allgemeinen falsch.
Bijektive Abbildungen sind insbesondere surjektiv, also trifft auf sie die Aussage zu.
> Die letzte Frage, die sich dann noch stellt, ist, wie man
> diesen Gegenbeweis führt..?
Ich gab dir schon den Hinweis, [mm] $Y=\IR$ [/mm] zu betrachten. Überlege dir, wie [mm] $f(f^{-1}(\IR))$ [/mm] aussieht. Ist [mm] $\IR$ [/mm] eine Teilmenge davon?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Bevor ich i-etwas falsches schreibe, muss ich erst mal fragen, ob du
$ [mm] f(f^{-1}(\IR)) [/mm] $ auf ,,mein'' Bsp mit [mm] x^{2} [/mm] beziehst...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Bevor ich i-etwas falsches schreibe, muss ich erst mal
> fragen, ob du
> [mm]f(f^{-1}(\IR))[/mm] auf ,,mein'' Bsp mit [mm]x^{2}[/mm] beziehst...
Ja genau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ich frage mich bloß, wie man das Urbild von IR angeben soll??
[mm] IR^{+}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ich frage mich bloß, wie man das Urbild von IR angeben
> soll??
> [mm]IR^{+}?[/mm]
Falls [mm] $\IR^+$ [/mm] bei euch auch die 0 enthält:
Du hättest auch einfach wie in der Definition von deinem f [mm] $\IR_{\ge0}$ [/mm] schreiben können oder auch [mm] $[0,\infty)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Aber [0,unendlich] ist doch in IR entahlten, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Aber [0,unendlich] ist doch in IR entahlten, oder?
Ja. Aber langsam: Zunächst ist hattest du [mm] $f^{-1}(\IR)=[0,\infty)$. [/mm] Der noch fehlende Schritt ist [mm] $f([0,\infty))=[0,\infty)$. [/mm] Also [mm] $f(f^{-1}(\IR))=[0,\infty)$.
[/mm]
Bei c) geht es jetzt nicht um die Frage, ob [mm] $[0,\infty)\subset\IR$, [/mm] sondern um die Frage, ob [mm] $\IR\subset[0,\infty)$ [/mm] gilt.
Wie lautet die Antwort? Also?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
IR ist nicht enthalten [0, unendlich[ --> Für injektive u. beliebige Abb ist die Inklusion im Allg. falsch!
Und damit ist der beweis (die ganze Aufgabe) fertig !?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> IR ist nicht enthalten [0, unendlich[ --> Für injektive u.
> beliebige Abb ist die Inklusion im Allg. falsch!
> Und damit ist der beweis (die ganze Aufgabe) fertig !?
Genau!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Super, danke für deine Hilfe!!!
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