Injektiv, Surjektiv oder Bijek < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Do 30.05.2013 | | Autor: | tamilboy |
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie, ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
a) [mm] f:\IN\to\IN, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x+1
b) [mm] f:\IZ\to\IZ, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x+2
c) [mm] f:\IQ\to\IQ, [/mm] x [mm] \mapsto x^2
[/mm]
d) [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^3 [/mm] |
Meine Idee um die Injektivität zu zeigen wäre, zu überprüfen, wann folgendes Wahr ist:
[mm] x\not=y\Rightarrow f(x)\not=f(y)
[/mm]
Was nach der Aussagenlogik übersetz ja folgendes heißt:
[mm] \neg(x\not=y) \vee f(x)\not=f(y)
[/mm]
[mm] \neg(x\not=y) [/mm] dieser Teil hat da ja 3 Möglichkeiten:
1. x=y
2. x<y
3. x>y
Da es hier ein oder ist, muss nur einer der Aussagen stimmen und da ich immer von der ersten Aussage etwas Annehme, ist die daher nicht immer wahr? Also damit ist jede Funktion injektiv? Da ist doch ein Denkfehler drin.
Auf jeden Fall hab ich raus (ohne mathematisch korrekten Beweis) das a) nicht injektiv ist weil es heißt [mm] \IN\to\IN [/mm] aber wen man für x werte [mm] aus\IN [/mm] einsetz, bekommt man da nur [mm] [1,\infty)\mapsto[2,\infty). [/mm] Also nicht für jeden [mm] y\in\IN [/mm] existiert ein [mm] x\in\IN [/mm] nach der Funktionsvorschrift.Wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf?
Für die Surjektivität ist mir leider noch nichts eingefallen.
Wäre nett wenn mir einer mal mein Denkfehler oben klar machen würde.
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moin,
> Zeigen oder widerlegen Sie, ob die Funktion injektiv,
> surjektiv oder bijektiv sind.
>
> a) [mm]f:\IN\to\IN,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x+1
>
> b) [mm]f:\IZ\to\IZ,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x+2
>
> c) [mm]f:\IQ\to\IQ,[/mm] x [mm]\mapsto x^2[/mm]
>
> d) [mm]f:\IR\to\IR,[/mm] x [mm]\mapsto x^3[/mm]
> Meine Idee um die
> Injektivität zu zeigen wäre, zu überprüfen, wann
> folgendes Wahr ist:
>
> [mm]x\not=y\Rightarrow f(x)\not=f(y)[/mm]
>
> Was nach der Aussagenlogik übersetz ja folgendes heißt:
>
> [mm]\neg(x\not=y) \vee f(x)\not=f(y)[/mm]
>
> [mm]\neg(x\not=y)[/mm] dieser Teil hat da ja 3 Möglichkeiten:
>
> 1. x=y
> 2. x<y
> 3. x>y
Nützlicher ist die äquivalenz der folgenden beiden Aussagen
[mm] $x\neg [/mm] y [mm] \implies f(x)\neq [/mm] f(y)$ und
[mm] $f(x)=f(y)\implies [/mm] x=y$.
>
> Da es hier ein oder ist, muss nur einer der Aussagen
> stimmen und da ich immer von der ersten Aussage etwas
> Annehme, ist die daher nicht immer wahr? Also damit ist
> jede Funktion injektiv? Da ist doch ein Denkfehler drin.
>
> Auf jeden Fall hab ich raus (ohne mathematisch korrekten
> Beweis) das a) nicht injektiv ist weil es heißt [mm]\IN\to\IN[/mm]
> aber wen man für x werte [mm]aus\IN[/mm] einsetz, bekommt man da
> nur [mm][1,\infty)\mapsto[2,\infty).[/mm] Also nicht für jeden
> [mm]y\in\IN[/mm] existiert ein [mm]x\in\IN[/mm] nach der
> Funktionsvorschrift.Wie schreibe ich das mathematisch
> korrekt auf?
Das war grad die Surjektivität und nicht die Injektivität.
>
> Für die Surjektivität ist mir leider noch nichts
> eingefallen.
> Wäre nett wenn mir einer mal mein Denkfehler oben klar
> machen würde.
>
>
Was folgt denn aus $f(x)-f(y)=0$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Do 30.05.2013 | | Autor: | tamilboy |
f(x)-f(y)=0 wen ich da jz einsetze kommt man auf x-y=0 was man umformen kann zu x=y. Wie fern hilft mir das für die Injektivität? Reicht es für die Surjektivität so aus was ich da als text geschrieben hab?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Fr 31.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> f(x)-f(y)=0 wen ich da jz einsetze kommt man auf x-y=0 was
> man umformen kann zu x=y.
Du bist bei der a), oder? Dann ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
> Wie fern hilft mir das für die Injektivität?
Eine Charakterisierung von Injektivität von $f$ lautet ja:
[mm] $\forall x,y\in\IN$ [/mm] mit $f(x)=f(y)$ gilt bereits $x=y$.
Du hast nun beliebig vorgegebene [mm] $x,y\in\IN$ [/mm] mit $f(x)=f(y)$ überlegt, dass bereits $x=y$ gilt. Damit hast du gezeigt, dass dieses Kriterium für Injektivität erfüllt ist.
> Reicht es für die Surjektivität so aus was
> ich da als text geschrieben hab?
Du schriebst:
> weil es heißt [mm] \IN\to\IN [/mm] aber wen man für x werte [mm] aus\IN [/mm] einsetz, bekommt man da nur [mm] [1,\infty)\mapsto[2,\infty). [/mm] Also nicht für jeden [mm] y\in\IN [/mm] existiert ein [mm] x\in\IN [/mm] nach der Funktionsvorschrift.
Die Idee ist völlig korrekt, der formale Aufschrieb noch nicht.
Zu zeigen ist, dass $f$ nicht surjektiv ist, d.h.
nicht für jedes [mm] $y\in\IN$ [/mm] existiert ein [mm] $x\in\IN$ [/mm] mit $f(x)=y$.
Gib zum Nachweis ein konkretes [mm] $y\in\IN$ [/mm] an, für das kein [mm] $x\in\IN$ [/mm] existiert mit $f(x)=y$:
Für $y:=1$ existiert kein [mm] $x\in\IN$ [/mm] mit $f(x)=y$
(Denn angenommen doch, so wäre $x+1=1$ und damit $x=0$, also [mm] $0\in\IN$, [/mm] Widerspruch).
Also kann $f$ nicht surjektiv sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Fr 31.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tamilboy,
> Meine Idee um die
> Injektivität zu zeigen wäre, zu überprüfen, wann
> folgendes Wahr ist:
>
> [mm]x\not=y\Rightarrow f(x)\not=f(y)[/mm]
>
> Was nach der Aussagenlogik übersetz ja folgendes heißt:
>
> [mm]\neg(x\not=y) \vee f(x)\not=f(y)[/mm]
>
> [mm]\neg(x\not=y)[/mm] dieser Teil hat da ja 3 Möglichkeiten:
>
> 1. x=y
> 2. x<y
> 3. x>y
Nein. [mm] $\neg(x\not=y)$ [/mm] bedeutet $x=y.$
Viele Grüße
Tobias
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