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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Mi 22.06.2011 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie alle Lösungen des Differentialgleichungssystems
[mm] $\dot{x} [/mm] = -(y - 1), [mm] \dot{y} [/mm] = x - 1$
b) Bestimmen Sie die Lösung des Differentialgleichungssystems
[mm] $\dot{x} [/mm] = -(y - 1) + cos(t), [mm] \dot{y} [/mm] = x - 1$
für die Anfangswerte $x(0) = 1, y(0) = 1$ |
Hallo Alle,
nachdem ich schon eine ganze Weile über dieser Aufgabe brüte und irgendwie nicht mehr weiterkomme, bitte ich euch um Hilfe.
Also, a) ging ja ganz gut zu lösen, homogene Lösung berechnet und anschließen inhomogene. Als Ergebnis habe ich (auch extra zur Probe nachgerechnet) herausbekommen:
$u(t) = C [mm] \vektor{-i \\ 1} e^{-it} [/mm] + D [mm] \vektor{i \\ 1} e^{it} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1}$
[/mm]
Nun zu b)
Umgeschrieben in Matrixform:
[mm] $\vektor{\dot{x} \\ \dot{y}} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] + [mm] \vektor{\cos(t) \\ 0} [/mm] $
Theoretisch müsste ich doch wegen dem Superpositionsprinzip nur noch folgendes DGL-System lösen(?):
[mm] $\dot{x} [/mm] = -y + cos(t), [mm] \dot{y} [/mm] = x$ und das Ergebnis einfach zu der Lösung von oben addieren.
Zunächst habe ich es mit einem Resonanzansatz versucht, also
$x = t(a [mm] \cos(t) [/mm] +b [mm] \sin(t)) [/mm] , [mm] \dot{x} [/mm] = t(-a [mm] \sin(t) [/mm] +b [mm] \cos(t)) [/mm] + (a [mm] \cos(t) [/mm] +b [mm] \sin(t))$
[/mm]
$y=0, [mm] \dot{y}=0$
[/mm]
testweise auch ein "normaler" Ansatz:
$x = a [mm] \cos(t) [/mm] +b [mm] \sin(t) [/mm] , [mm] \dot{x} [/mm] = -a [mm] \sin(t) [/mm] +b [mm] \cos(t)$
[/mm]
Bringt mich aber beides auf einen Widerspruch. Was mache ich falsch???
Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte...
Viele Grüße
crümel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 22.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich kann das nur, wenn ich entweder alles reell schreibe, also statt [mm] e^{it} [/mm] und e^|-it) cost und sint als die 2 Lösungen, dann für x den Ansatz atsint+btcost für den inh. cos(t) Teil
oder alles komplex, also cos(t) kompex umschreiben.
In Anwendungen sind die reellen lösungen gesucht!
also:
x(t)=asint+bcost-1
y(t)=asint-bcost -1
für a) und dann mein Ansatz oben!
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mi 22.06.2011 | | Autor: | cruemel |
Ah, danke, auf die Idee cos(t) umzuschreiben bin ich nicht gekommen, muss ich nachher gleich ausprobieren. Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
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