Inhomogener Lösungsansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 So 24.10.2010 | | Autor: | Mitschy |
| Aufgabe | Analytische Lösung von:
[mm] T*\bruch{dx(t)}{dt}+x(t)=K*u(t)
[/mm]
x(0)=0
1)homogener Ansatz
2)inhomogener Ansatz |
Hallo Gemeinde,
die Erste Aufgabe (homogener Ansatz) ist kein Problem.
1)
[mm] T*\bruch{dx(t)}{dt}+x(t)=0
[/mm]
Lösung:
[mm] x_{h}=x=C_{1}*e^{-\bruch{t}{T}}
[/mm]
Bei dem inhomogener Ansatz mach ich es mir irgendwie schwer, da u(t) eine allgemeine Formel ist.
2) [mm] x=x_{h}+x_{p}
[/mm]
[mm] x_{p}=K*u(t)
[/mm]
Lösungsansatz:
Ab hier bin ich mir schon nicht sicher, da ich eigentlich den Lösungsansatz einer linearen Störfunktion nutze.
[mm] x_{p}=a*u(t)+b
[/mm]
[mm] x_{p}^{'}=a*\bruch{u(t)}{dt}
[/mm]
eingesetzt:
[mm] T*a*\bruch{u(t)}{dt}+a*u(t)+b=K*u(t)
[/mm]
Jetzt sollte der Koeffizientenvergleich folgen aber ab hier geht mein Weg eigentlich ins Nichts.
Ich hoffe es kann mir jemand einen entscheidenden Tipp geben.
Danke im voraus.
Gruß Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 So 24.10.2010 | | Autor: | Mitschy |
Wenn ich die gesamte Formel mit dem Taschenrechner lösen lasse kommt folgende Lösung raus:
[mm] x=\bruch{K*e^{-t/T}*\integral_{}^{}{(e^{t/T}*u(t)) dt}}{T}+C_{1}*e^{-t/T}
[/mm]
Also ist [mm] x_{p}=\bruch{K*e^{-t/T}*\integral_{}^{}{(e^{t/T}*u(t)) dt}}{T}
[/mm]
Aber wie kommt man ohne den TR auf diese Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Michael
Hier kommt man mit der "Variation der Konstanten" ans Ziel.
Die homogene Lösung ist ja von der Form [mm] $c\cdot e^{-t/T}$. [/mm] Deshalb variiert man fuer die inhomogene Loesung die Konstante [mm] $c\to [/mm] c(t)$. Das in die DG eingesetzt ergibt dann eine neue DG fuer die Funktion $c(t)$, die "relativ einfach" zu loesen ist.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 So 24.10.2010 | | Autor: | Mitschy |
Daran hab ich gar nicht gedacht! Hab es jetzt schnell durchprobiert und komme genau auf die Lösung des Taschenrechners.
Danke
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