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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Do 09.12.2010 | | Autor: | Albrecht |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Differentialgleichungen:
b) [mm] $\ddot{x} [/mm] (t) + 4 [mm] \dot{x}(t) [/mm] + 3 x(t) = cos(t) , x(0) = 0, [mm] \dot{x}(0)=0.1$ [/mm] |
Ich habe als homogene Lösung:
[mm] $y_{hom} [/mm] = [mm] c_1 [/mm] e^3t - [mm] c_2 e^{-t}$
[/mm]
Für [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] habe ich beides mal $0.025$
Ich denke mal bis dahin muss ich nicht weiter auf den Lösungs weg eingehen. Da mein Ergebnis bis dahin stimmen müsste. Ich habe einfach das charakteristische Polynom ausgerechnet [mm] $\lambda_1 [/mm] = 3$ und [mm] $\lambda_2 [/mm] = -1$ bestimmt.
Nun kommt die spezielle Lösung. Ich habe dafür das Verfahren Variation der Konstanten gewählt.
[mm] $y_{spez} [/mm] = [mm] c_1(t) [/mm] e^3t - [mm] c_2(t) e^{-t}$
[/mm]
Für $c'_2 = [mm] cos(t)4e^t$ [/mm] und für $c'_1 = [mm] cos(t)4e^{-3t}$
[/mm]
[mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] lässt sich mit einer Integraltabelle schnell bestimmen. Wenn ich dann am Ende alles zusammenfüge kommt leider nicht die Lösung die WolframAlpha ausgerechnet hat die wäre nämlich:
$y(t) = [mm] e^{-3 t} [/mm] (0.1-0.2 [mm] e^{2 t})+0.2 [/mm] sin(t)+0.1 cos(t)$
ich habe allerdings:
$y(t) = [mm] 0.025e^{3t} [/mm] - [mm] 0.025e^{-t} [/mm] - 3.2cos(t)-1.6sin(t)$
Ich kann gerne meinen Lösungsweg noch näher aufzeichnen - allerdings habe ich für die spezielle Lösung eine gewisse Matrixschreibweise benutzt. Vielleicht entdeckt hier jemand sofort einen groben Fehler in meinen Daten.
Wäre toll wenn sich jemand die Mühe macht und mein Ergebnis der homogenen lösung verfiziert und das der speziellen Überprüft.
Schönen Abend noch. Und wie gesagt falls ein ausführlicher Lösungsweg gewünscht ist kann ich den nachliefern.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Albrecht,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie die Lösung der folgenden
> Differentialgleichungen:
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> b) [mm]\ddot{x} (t) + 4 \dot{x}(t) + 3 x(t) = cos(t) , x(0) = 0, \dot{x}(0)=0.1[/mm]
>
> Ich habe als homogene Lösung:
>
> [mm]y_{hom} = c_1 e^3t - c_2 e^{-t}[/mm]
Die homogene Lösung lautet doch
[mm]y_{hom}=c_{1}*e^{\red{-}3t}+c_{2}*e^{-t}[/mm]
>
> Für [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] habe ich beides mal [mm]0.025[/mm]
Die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] werden erst ermittelt,
wenn die allgemeine Lösung der DGL bekannt ist.
>
> Ich denke mal bis dahin muss ich nicht weiter auf den
> Lösungs weg eingehen. Da mein Ergebnis bis dahin stimmen
> müsste. Ich habe einfach das charakteristische Polynom
> ausgerechnet [mm]\lambda_1 = 3[/mm] und [mm]\lambda_2 = -1[/mm] bestimmt.
>
> Nun kommt die spezielle Lösung. Ich habe dafür das
> Verfahren Variation der Konstanten gewählt.
>
> [mm]y_{spez} = c_1(t) e^3t - c_2(t) e^{-t}[/mm]
>
> Für [mm]c'_2 = cos(t)4e^t[/mm] und für [mm]c'_1 = cos(t)4e^{-3t}[/mm]
>
> [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] lässt sich mit einer Integraltabelle schnell
> bestimmen. Wenn ich dann am Ende alles zusammenfüge kommt
> leider nicht die Lösung die WolframAlpha ausgerechnet hat
> die wäre nämlich:
>
> [mm]y(t) = e^{-3 t} (0.1-0.2 e^{2 t})+0.2 sin(t)+0.1 cos(t)[/mm]
>
> ich habe allerdings:
>
> [mm]y(t) = 0.025e^{3t} - 0.025e^{-t} - 3.2cos(t)-1.6sin(t)[/mm]
>
> Ich kann gerne meinen Lösungsweg noch näher aufzeichnen -
> allerdings habe ich für die spezielle Lösung eine gewisse
> Matrixschreibweise benutzt. Vielleicht entdeckt hier jemand
> sofort einen groben Fehler in meinen Daten.
>
> Wäre toll wenn sich jemand die Mühe macht und mein
> Ergebnis der homogenen lösung verfiziert und das der
> speziellen Überprüft.
>
> Schönen Abend noch. Und wie gesagt falls ein
> ausführlicher Lösungsweg gewünscht ist kann ich den
> nachliefern.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 So 12.12.2010 | | Autor: | Albrecht |
Oh danke böser Vorzeichen Fehler.
Für die spezielle Lösung ergibt sich dann:
[mm] $y_{spez} [/mm] = [mm] c_1(t)e^{-t}+c_2(t)e^{-3t} [/mm]
[mm] \begin{array}{|c|c||c||c|}
c'_1 & c'_2 & r.S. & Regie\\
\hline
e^{-3t} & e^{-t} & 0 & 3\\
-3e^{-3t} & -e^{-t} & cos(t) & 1\\
\hline
0 & -e^-t+3e^-t & cos(t) & \\
\end{array}
[/mm]
Für $c'_2$ ergibt sich dann:
[mm] $c_2'2e^{-t}=cos(t)$
[/mm]
$c'_2 = [mm] \frac{1}{2} cos(t)e^t$
[/mm]
und für [mm] $c_1$
[/mm]
$c'_1 = [mm] -\frac{1}{2} cos(t)e^{3t}$
[/mm]
[mm] $c_2(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} e^t(sin(t)+cos(t))$
[/mm]
[mm] $c_1(t) [/mm] = - [mm] \frac{1}{20} e^{3t} [/mm] (sin(t)+3cos(t))$
So ist das aber korrekt? Irgendwie komme ich nämlich noch immer nicht auf das richtige Ergebnis.
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Hallo Albrecht,
> Oh danke böser Vorzeichen Fehler.
>
> Für die spezielle Lösung ergibt sich dann:
>
> [mm]$y_{spez}[/mm] = [mm]c_1(t)e^{-t}+c_2(t)e^{-3t}[/mm]
>
> [mm]\begin{array}{|c|c||c||c|}
c'_1 & c'_2 & r.S. & Regie\\
\hline
e^{-3t} & e^{-t} & 0 & 3\\
-3e^{-3t} & -e^{-t} & cos(t) & 1\\
\hline
0 & -e^-t+3e^-t & cos(t) & \\
\end{array}[/mm]
>
> Für [mm]c'_2[/mm] ergibt sich dann:
>
> [mm]c_2'2e^{-t}=cos(t)[/mm]
> [mm]c'_2 = \frac{1}{2} cos(t)e^t[/mm]
> und für [mm]c_1[/mm]
> [mm]c'_1 = -\frac{1}{2} cos(t)e^{3t}[/mm]
>
> [mm]c_2(t) = \frac{1}{4} e^t(sin(t)+cos(t))[/mm]
> [mm]c_1(t) = - \frac{1}{20} e^{3t} (sin(t)+3cos(t))[/mm]
>
> So ist das aber korrekt? Irgendwie komme ich nämlich noch
Ja, das ist korrekt.
> immer nicht auf das richtige Ergebnis.
Dann poste dieses Ergebnis.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 So 12.12.2010 | | Autor: | Albrecht |
Ich wollte nur nochmal Danke sagen und die endgültige Lösung posten. Ich hoffe das war der richtige Button dafür.
Also wenn man [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] bestimmt hat brauch man sie nur noch einsetzen und bekommt als spezielle Lösung:
[mm] $y_{spez}=\frac{1}{5} [/mm] (sin(t)+ [mm] \frac{1}{2} [/mm] cos (t))$
dann nur noch [mm] $y=y_{spez} [/mm] + [mm] y_{hom}$ [/mm] und dann um [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] zu bestimmen die Ableitung machen und die Variablen rausfinden.
Und dann kommt man zum schluss zur Lösung das
[mm] $c_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{10}$ [/mm]
und
[mm] $c_2 [/mm] = - [mm] \frac{2}{10}$
[/mm]
damit ergibt sich als Gesamlösung:
[mm] $y(t)=e^{-3t}(0.1 [/mm] - [mm] 0.2e^{-t})+0.2(sin(t)+0.5cos(t))$
[/mm]
Außerdem das es ein ganz tolles Forum hier ist mit sehr guter Hilfe. Und ich hoffe ich kann demnächst auch mal wem helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 So 12.12.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo Albrecht,
> Ich wollte nur nochmal Danke sagen und die endgültige
> Lösung posten. Ich hoffe das war der richtige Button
> dafür.
>
> Also wenn man [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] bestimmt hat brauch man sie nur
> noch einsetzen und bekommt als spezielle Lösung:
>
> [mm]y_{spez}=\frac{1}{5} (sin(t)+ \frac{1}{2} cos (t))[/mm]
>
> dann nur noch [mm]y=y_{spez} + y_{hom}[/mm] und dann um [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> zu bestimmen die Ableitung machen und die Variablen
> rausfinden.
>
> Und dann kommt man zum schluss zur Lösung das
>
> [mm]c_1 = \frac{1}{10}[/mm]
> und
> [mm]c_2 = - \frac{2}{10}[/mm]
>
> damit ergibt sich als Gesamlösung:
>
> [mm]y(t)=e^{-3t}(0.1 - 0.2e^{-t})+0.2(sin(t)+0.5cos(t))[/mm]
Da ist eine Klammer zuviel:
[mm]y(t)=0.1e^{-3t} - 0.2e^{-t}+0.2(sin(t)+0.5cos(t))[/mm]
>
> Außerdem das es ein ganz tolles Forum hier ist mit sehr
> guter Hilfe. Und ich hoffe ich kann demnächst auch mal wem
> helfen.
Gruss
MathePower
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