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Hallo Zusammen:
gegeben ist die inhomogene DGL
[mm] x'+3x=cos(t),x(\pi)=1
[/mm]
mein ansatz:
[mm] x(t)=x_H+x_P;
[/mm]
[mm] x_H=x'+3x=0
[/mm]
[mm] x_H=c*e^{-\integral 3 dt}
[/mm]
[mm] x_H=c*e^{-3t}
[/mm]
[mm] x_P=(P_0)sint(t)+(Q_0)cos(t)
[/mm]
einsetzen in
[mm] x'_P+3x_P=(P_0)cos(t)-(Q_0)sin(t)+3[(P_0)sint(t)+(Q_0)cos(t)]=cos(t)
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] 4(P_0)-(Q_0)=0
[/mm]
[mm] (Q_0)=1
[/mm]
-> [mm] Q_0=1
[/mm]
-> [mm] P_0=1/4
[/mm]
x=c*e^(-3t) + 1/4 sin(t) + 1*cos(t) ->allg Lösung
nun...
1=c*.....die ganzen [mm] \pi [/mm] s einsetzen, C ermitteln und in die aLLG. Lsg.
einsetzen,
stimmt die vorgehensweise
vielen dank
martina
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Hallo martina.m18,
> Hallo Zusammen:
>
> gegeben ist die inhomogene DGL
>
> [mm]x'+3x=cos(t),x(\pi)=1[/mm]
>
> mein ansatz:
> [mm]x(t)=x_H+x_P;[/mm]
>
> [mm]x_H=x'+3x=0[/mm]
> [mm]x_H=c*e^{-\integral 3 dt}[/mm]
> [mm]x_H=c*e^{-3t}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]x_P=(P_0)sint(t)+(Q_0)cos(t)[/mm]
>
> einsetzen in
>
> [mm]x'_P+3x_P=(P_0)cos(t)-(Q_0)sin(t)+3[(P_0)sint(t)+(Q_0)cos(t)]=cos(t)[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]4(P_0)-(Q_0)=0[/mm]
> [mm](Q_0)=1[/mm]
Die Gleichungen sind nicht richtig.
Diese müssen doch lauten:
[mm]\red{3}(P_0)-(Q_0)=0[/mm]
[mm](P_0)+\red{3}(Q_0)=1[/mm]
>
> -> [mm]Q_0=1[/mm]
> -> [mm]P_0=1/4[/mm]
>
> x=c*e^(-3t) + 1/4 sin(t) + 1*cos(t) ->allg Lösung
>
> nun...
>
> 1=c*.....die ganzen [mm]\pi[/mm] s einsetzen, C ermitteln und in die
> aLLG. Lsg.
> einsetzen,
> stimmt die vorgehensweise
Die Vorgehensweise stimmt.
> vielen dank
> martina
Gruss
MathePower
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ja, du hast auf alle Fälle recht
[mm] (P_0)=1/10
[/mm]
[mm] (Q_0)=3/10
[/mm]
allgLösung:
x(t)=c*e^(-3t)+1/10*sin(t)+3/10*cos(t); mit [mm] x(\pi)=1
[/mm]
eingesetzt:
[mm] [1-(1/10*sin(\pi)+3/10*cos(\pi)]/(e^{-3*\pi})=C
[/mm]
C=8611
nun..
x(t)=8611*e^(-3t)+1/10*sin(t)+3/10*cos(t);
Spezielle Lsg mit [mm] x(\pi)=1
[/mm]
nun, wenn ich meine Konstante C anschaue bin ich mir mehr
als unsicher ob das stimmt
LG
Martina
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Hallo martina.m18,
> ja, du hast auf alle Fälle recht
>
> [mm](P_0)=1/10[/mm]
> [mm](Q_0)=3/10[/mm]
>
> allgLösung:
>
> x(t)=c*e^(-3t)+1/10*sin(t)+3/10*cos(t); mit [mm]x(\pi)=1[/mm]
> eingesetzt:
>
> [mm][1-(1/10*sin(\pi)+3/10*cos(\pi)]/(e^{-3*\pi})=C[/mm]
> C=8611
>
> nun..
>
> x(t)=8611*e^(-3t)+1/10*sin(t)+3/10*cos(t);
> Spezielle Lsg mit [mm]x(\pi)=1[/mm]
>
> nun, wenn ich meine Konstante C anschaue bin ich mir mehr
> als unsicher ob das stimmt
Das C muß ungefähr doppelt so groß sein, wie das C von Dir.
> LG
> Martina
Gruss
MathePower
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Ja,
C=16109
Rechner auf RAD, alles klar
danke
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