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Hallo,
Grob geht es in meiner Frage um den Zusammenhang zwischen Determinante und dem orientierten Volumen. In unserem Skriptum fällt dieser sozusagen ein wenig vom Himmel.
Da "das" Integral ja auf recht unterschiedliche Weise definiert bzw. konstruiert werden kann, werde ich kurz skizzieren wie wir zur mehrdimensionalen Integrationsrechnung gelangt sind.
Ausgehend vom eindimensionalen Riemann-Integral (für Funktionen die durch Treppenfunktionen beliebig genau approximiert werden können) haben wir das mehrdimensionale Integral quasi auf natürliche Weise für stetige Funktionen
[mm] f:\IR^{s} \mapsto \IR [/mm] mit kompakten Träger definiert.
Mit I(f) = [mm] \integral_{\IR^{s}}^{}{f(x) dx} [/mm] := [mm] \integral_{a_{s}}^{b_{s}} \ldots \integral_{a_{1}}^{b_{1}}{f(x_{1}, \ldots x_{s}) dx_{1}}\ldots dx_{s}
[/mm]
wobei der Träger von f, Tr(f) [mm] \subseteq [a_{1},b_{1}] [/mm] x [mm] \ldots [/mm] x [mm] [a_{s},b{s}] [/mm]
Dieser Integralsbegriff wurde dann weiterausgedehnt, sodass per definitionem eine Funktion f: [mm] \IR^{s} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] genau dann integrierbar ist, wenn es [mm] \forall \espilon [/mm] > 0 g,h [mm] \in K(\IR^{s}) [/mm] (Menge d. stet. Funktionen von [mm] \IR^{s} [/mm] nach [mm] \IR) [/mm] gibt mit
g [mm] \le [/mm] f [mm] \le [/mm] h und [mm] \integral_{}^{}{g-h} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Und das Integral von f wird dann definiert als
I(f) = [mm] \integral_{\IR^{s}}^{}{f} [/mm] := sup {I(g) | g [mm] \le [/mm] f und g [mm] \in K(\IR^{s})} [/mm]
= inf {I(h)| h [mm] \ge [/mm] f und f [mm] \in K(\IR^{s})}
[/mm]
Der Inhalt einer Menge A (sofern existent) wird dann als Integral der charakteristischen Funktion [mm] X_{A} [/mm] definiert.
Jetzt bin ich auch schon bald bei der konkreten Fragestellung angelangt.
Zu einer Menge von Vektoren [mm] \{v_{i}| \forall i \in \{1,\ldots ,s\}: v_{i} \in \IR^{s} \} [/mm] sei [mm] P(\{(v_{i})_{i \le s}\}) [/mm] := [mm] \{\lambda_{i} v_{i}| \lambda_{i} \in [0,1]\}, [/mm] das von diesen Vektoren aufgespannte Parallelepipität.
Sei A die Matrix, die die [mm] v_{i} [/mm] als Spalten hat.
Dann kann man das orientierte Volumen V(A) definieren als,
V(A) := [mm] sgn(det(A))*I(P((v_{i})_{i \le s})
[/mm]
Man sollte nun zeigen können (kann ich nicht und wird in unserem Skript auch nicht wirklich getan), dass das orientierte Volumen die Eigschenschaften erfüllt, die die Determinante zur eindeutigen Abbildung (mit diesen Eigenschaften) von [mm] \IR^{s} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definieren.
D.h.
V(E) = 1 (Wobei E das v. den Einheitvektoren aufgespannte P. ist) - (dieser Punkt ist mir klar)
[mm] V(v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{i} [/mm] + [mm] w_{i}, [/mm] ..., [mm] v_{s}) [/mm] = [mm] V(v_{1},...,v_{i},...v_{s}) [/mm] + [mm] V(v_{1},...,w_{i},...,v_{s})
[/mm]
[mm] V(v_{1},..., \lambda v_{i},...,v{s}) [/mm] = [mm] \lambda V(v_{1},...,v_{i},...v_{s})
[/mm]
Dann würde man natürlich erhalten, dass
|det(A)| = [mm] I(P((v_{i})_{i \le s})
[/mm]
Also ich scheittere daran, die Linearität von V zu zeigen.
Vielleicht hat ja jemand Zeit, mir dies mal eben zu erklären, oder einen passenden link zu senden.
Vielen Dank [mm] \forall [/mm] Antworten
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Mo 06.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Du musst die Linearität des Integrals (das Integral ist ein ![[]](/images/popup.gif) lineares Funktional) nutzen.
Das Volumen ist ja über die charakteristische Funktion definiert, d.h. du kannst immer über den gesamten Raum integrieren und wenn du das Parallelepiped veränderst, änderst du damit die charakteristische Funktion. Das lässt sich durch eine einfache Addition von charakteristischen Funktionen für den bisherigen und den dazugekommenen Bereich ausdrücken. Und an dieser Stelle kann man dann die Linearität des Integrals ansetzen.
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