Inhalt einer Fläche berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Di 20.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Inhalt der durch [mm] \varphi [/mm] (x,y) = (3x,3y,6x²+6y²) definierten Fläche über dem Normalbereich [mm] \left\{ (x,y)\in R²|x²+y²\le 3 \wedge y\ge0 \right\} [/mm] |
Hallo zusammen.
Ich komme nicht auf die Lösung dieser Prüfungsaufgabe, weil ich keinen vernünftigen Ansatz finde.
Mein bisheriger Ansatz.
Zu berechnen ist das ganze mit einem Doppelintegral nach meiner Meinung.
Das ganze scheint ein Kreis zu sein da [mm]x²+y²\le 3[/mm].
So, wie komme ich nun auf einen Ansatz für die Integration? Ich bitte um eine Hilfestellung
Vielen Dank schon mal Thomas
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[mm]\varphi[/mm] ist die Parameterdarstellung einer Fläche im [mm]\mathbb{R}^3[/mm]. Es ist also der Flächeninhalt [mm]A[/mm] desjenigen Flächenstücks zu bestimmen, das über dem oberen Halbkreis [mm]K: \ x^2 + y^2 \leq 3 \, , \, y \geq 0[/mm] liegt. [mm]A[/mm] berechnet man mit
[mm]A = \int_K \left| \varphi_x \times \varphi_y \right|~\mathrm{d}(x,y)[/mm]
Mit [mm]\varphi_x, \varphi_y[/mm] sind die komponentenweise gebildeten partiellen Ableitungen des Vektors [mm]\varphi[/mm] nach [mm]x[/mm] bzw. [mm]y[/mm] gemeint, das Kreuz steht für das Vektorprodukt, die Striche für die euklidische Länge.
Als Ergebnis habe ich
[mm]A = \frac{513}{8} \pi[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mi 21.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Ok, d.h
ich bilde die beiden Ableitungen, die da heißen [mm]\varphi_x[/mm]=(3,0,12x) und [mm]\varphi_y[/mm]=(0,3,12y). Nun das Vektorprodukt daraus heißt (-36x,-36y,9) - Länge des Vektors ist dann y=- 36x-36y+9
Nun die Fläche berechnen
A=[mm]\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} -36x-36y+9 \,dy dx[/mm]
Da komm ich aber dann nicht auf dein angegebenes Ergebniss. Wo liegt mein Fehler? Ich sehe ihn nicht. Bitte noch mal um Hilfe
Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, d.h
> ich bilde die beiden Ableitungen, die da heißen
> [mm]\varphi_x[/mm]=(3,0,12x) und [mm]\varphi_y[/mm]=(0,3,12y). Nun das
> Vektorprodukt daraus heißt (-36x,-36y,9) - Länge des
> Vektors ist dann y=- 36x-36y+9
> Nun die Fläche berechnen
>
> A=[mm]\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} -36x-36y+9 \,dy dx[/mm]
>
> Da komm ich aber dann nicht auf dein angegebenes Ergebniss.
> Wo liegt mein Fehler? Ich sehe ihn nicht. Bitte noch mal um
> Hilfe
Du schreibst: "Länge des Vektors ist dann y=- 36x-36y+9"
Das ist ja abenteuerlich ! Wie kommst Du auf so etwas ?
Sei $(a,b,c) [mm] \in \IR^3 [/mm] $ . Was ist dann die Länge dieses Vektors ?
FRED
>
> Grüße
> Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mi 21.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Sorry, da ist natürlich ein Fehler drin. Ich hab falsch von meiner Vorlage abgeschrieben es muss natürlich heißen, Länge des Vektors [mm]\wurzel{(-36x)²+(-36y)²+(9)²}[/mm]
So und dann die Fläche
A=[mm]\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\wurzel{(-36x)²+(-36y)²+(9)²}[/mm]
Lösung hab ich nachwievor nicht die oben angegebene.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, da ist natürlich ein Fehler drin. Ich hab falsch von
> meiner Vorlage abgeschrieben es muss natürlich heißen,
> Länge des Vektors [mm]\wurzel{(-36x)²+(-36y)²+(9)²}[/mm]
>
> So und dann die Fläche
>
> A=[mm]\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\wurzel{(-36x)²+(-36y)²+(9)²}[/mm]
>
Das ist vielleicht ein Durcheinander !!!!
Schreib mal [mm] \wurzel{(-36x)²+(-36y)²+(9)²} [/mm] in Polarkoordinaten um, Differential nicht vergessen! und Integrationsgrenzen richtig wählen !
Du integrierst doch über einen Halbkreis mit Radius [mm] \wurzel{3} [/mm] !!
FRED
> Lösung hab ich nachwievor nicht die oben angegebene.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 21.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Ok,
folgendes gemacht:
x= r * cos [mm]\varphi[/mm]
y= r * sin [mm]\varphi[/mm]
daraus folgt
A=$ [mm] \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\wurzel{3}}\wurzel{(-36x)²+(-36y)²+(9)²} \,dydx$
[/mm]
A=$ [mm] \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\wurzel{3}}36*\wurzel{(x²+y²+1/16}\,dydx [/mm] $
x²+y²=r²*cos²[mm]\varphi[/mm]+r²*sin²[mm]\varphi[/mm]
x²+y²=r² da cos²[mm]\varphi[/mm]+sin²[mm]\varphi[/mm]=1
daraus folgt
A=$ [mm] \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\wurzel{3}}(36*\wurzel{r²+1/16})*r\, drd\varphi$
[/mm]
Jetzt das Integral lösen. Ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok,
>
> folgendes gemacht:
>
> x= r * cos [mm]\varphi[/mm]
> y= r * sin [mm]\varphi[/mm]
>
> daraus folgt
>
> A=[mm] \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\wurzel{3}}\wurzel{(-36x)²+(-36y)²+(9)²} \,dydx[/mm]
>
> A=[mm] \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\wurzel{3}}36*\wurzel{(x²+y²+1/16}\,dydx[/mm]
>
So darfst Du das nicht schreiben!
Besser: A=[mm] \int_{K}^{}36*\wurzel{(x²+y²+1/16}\,dydx[/mm], wobei K wie bei Loeopoldt Gast
>
> x²+y²=r²*cos²[mm]\varphi[/mm]+r²*sin²[mm]\varphi[/mm]
> x²+y²=r² da cos²[mm]\varphi[/mm]+sin²[mm]\varphi[/mm]=1
> daraus folgt
>
> A=[mm] \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\wurzel{3}}(36*\wurzel{r²+1/16})*r\, drd\varphi[/mm]
>
> Jetzt das Integral lösen. Ist das soweit richtig?
So ist es O.K.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mi 21.01.2009 | | Autor: | tomtomgo |
Danke für die Hilfe. Jetzt kapier ichs.
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