Infimum und Supremum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ich soll für diese Menge das (1) Supremum und das (2) Infimum bestimmem
M= [mm] \summe_{n=0}^{l-1} a^n [/mm]
mit l Element aus [mm] \IN [/mm] und -1<a<1
also dies kann man mit der geometrischen Summenformel umschreiben zu:
[mm] \left( \bruch{1-a^l}{1-a} \right)
[/mm]
dann würde ich für (2) Infimum schlussfolgern, dass die untere Schranke von M =0 ist, da für eine Zahl x Element aus [mm] \IR [/mm] alle Zahlen die in der Menge M liegen >l sind. z.B. für a=-1 und l=1 ist 1 [mm] \in [/mm] M (Nenner und Zähler sind immer positiv)
kann man das so schreiben?
und für (1) bzw das Supremum habe ich leider gar keinen Einsatz. Wir sollen hier zeigen das die Menge keine kleinste obere Schrank besitzt. Aber wie mache ich das?
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Hallo Alex,
> ich soll für diese Menge das (1) Supremum und das (2)
> Infimum bestimmem
> M= [mm]\summe_{n=0}^{l-1} a^n[/mm]
> mit l Element aus [mm]\IN[/mm] und -1<a<1
Nimm in LaTeX lieber [mm] [\ell] [/mm] als Buchstaben, das sieht besser aus. Das schreibt man \ell
> also dies kann man mit der geometrischen Summenformel
> umschreiben zu:
>
> [mm]\left( \bruch{1-a^l}{1-a} \right)[/mm]
Jaha.
> dann würde ich für (2) Infimum schlussfolgern, dass die
> untere Schranke von M =0 ist,
Das ist das richtige Ergebnis.
> da für eine Zahl x Element
> aus [mm]\IR[/mm] alle Zahlen die in der Menge M liegen >l sind.
Das ist aber die falsche Begründung. Versuch mal a=-0,5.
> z.B.
> für a=-1 und l=1 ist 1 [mm]\in[/mm] M (Nenner und Zähler sind
> immer positiv)
>
> kann man das so schreiben?
Nein.
> und für (1) bzw das Supremum habe ich leider gar keinen
> Einsatz. Wir sollen hier zeigen das die Menge keine
> kleinste obere Schrank besitzt. Aber wie mache ich das?
Untersuche mal [mm] a\to\+1.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay, also zu (2) Infimum:
Wenn ich 0,5 für a einsetzte kommt ebenfalls =1 heraus. ebenfalls für alle anderen Werte von a . Also wird der Bruch für alle l [mm] \in \IN [/mm] und alle -1<a<1
Dann ist 0 das Infimum, da es die größte untere Schranke ist (nur eigentlich ist 1 doch dann die größte untere Schrank, oder?)
so jetzt zu (1) dem Supremum:
wenn a=1 ist wäre ja der Nenner =0 und das funktioniert ja nicht. Also nähert sich der Nenner für a-->1 auch immer näher an die 0 und der Zähler verändert sich je nach Größe des "l's" aber was bringt mir das in diesem Zusammenhang?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Fr 15.11.2013 | | Autor: | abakus |
> okay, also zu (2) Infimum:
> Wenn ich 0,5 für a einsetzte kommt ebenfalls =1 heraus.
> ebenfalls für alle anderen Werte von a . Also wird der
> Bruch für alle l [mm]\in \IN[/mm] und alle -1<a<1
> Dann ist 0 das Infimum, da es die größte untere Schranke
> ist (nur eigentlich ist 1 doch dann die größte untere
> Schrank, oder?)
>
> so jetzt zu (1) dem Supremum:
> wenn a=1 ist wäre ja der Nenner =0 und das funktioniert
> ja nicht. Also nähert sich der Nenner für a-->1 auch
> immer näher an die 0 und der Zähler verändert sich je
> nach Größe des "l's" aber was bringt mir das in diesem
> Zusammenhang?
Hallo,
deine Reihenformel ist nur bedingt hilfreich.
Du hast die Summe [mm] (1+a+$a^2$+$a^3$+...)
[/mm]
Für positive a (also 0<a<1) wächst diese Summe mit jedem Summanden. Der kleinstmögliche Wert ist 1, jeder neue Summand vergrößert ihn.
Für -1<a<0
ergibt die Summe [mm] (1-|a|+|$a^2$|-|$a^3$|+...), [/mm] wobei 1 der größtmögliche Wert ist. Jeder neue Summand führt abwechsenld zu eine Verkleinerung und dann wieder zu einer Vergrößerung der Summe, wobei der Betrag dieser Verkleinerung/Vergrößerung abnehmend ist. In diesem Fall ist der kleinste Wert 1-|a|.
Gruß Abakus
PS: Auch der Fall a=0 verdient eine eigene Betrachtung...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay dann noch einige spezielle Fragen:
1. Stimmt meine letzte Aussage zum Infimum?
2. zum Supremum: was sagt das über das Supremum aus, dass mein größtmöglicher Wert 1 ist? Denn ich soll doch beweisen, dass es kein Supremum gibt? und wenn ich für a=0,5 und für l=2 einsetzte erhalte ich als Wert 1,5 ..aber du sagtest doch der größte Wert liegt bei=1..Wie ist das zu verstehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Fr 15.11.2013 | | Autor: | abakus |
> okay dann noch einige spezielle Fragen:
> 1. Stimmt meine letzte Aussage zum Infimum?
> 2. zum Supremum: was sagt das über das Supremum aus, dass
> mein größtmöglicher Wert 1 ist? Denn ich soll doch
> beweisen, dass es kein Supremum gibt?
Wer behautet das?
für 0<a<1 hat deine Menge
- ein Infimum, das auch Minimum ist
- ein Supremum, das dem Grenzwert der Summe für [mm] $\ell$ [/mm] gegen unenldich entspricht
- allerdings kein Maximum
Für a=0 ist Min(M)=Max(M)=Sup(M)=Inf(M)=0.
Für -1<a<0 habe ich dir schon das Minimum und das Maximum genannt.
Gruß Abakus
> und wenn ich für
> a=0,5 und für l=2 einsetzte erhalte ich als Wert 1,5
> ..aber du sagtest doch der größte Wert liegt bei=1..Wie
> ist das zu verstehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Aber wie beweise ich das es KEIN Supremum gibt?  Das ist ja bei dieser Beispielübung gefordert..
reicht es wenn ich schreibe, das kein Supremum vorliegt, da der Grenzwert der Summe unendlich ist?und wie hilft mir die Bernoulli Ungleichung an dieser Stelle=
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber wie beweise ich das es KEIN Supremum gibt? Das ist
> ja bei dieser Beispielübung gefordert..
> reicht es wenn ich schreibe, das kein Supremum vorliegt,
> da der Grenzwert der Summe unendlich ist?
ich kann mit diesem Satz jedenfalls so gar nichts anfangen - Du redest
von einem Grenzwert: Welcher?
(Für sogar $a [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|a| < [mm] 1\,$ [/mm] ist
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}\,,$
[/mm]
und die Zahl [mm] $1/(1-a)\,$ [/mm] ist hier sicher niemals [mm] $\infty$!)
[/mm]
Was ist der eigentliche Inhalt Deiner Aussage. Es gilt übrigens generell die
Merkregel: Je schwammiger ich mich ausdrücken muss, desto
wahrscheinlicher ist es, dass ich etwas (noch) nicht (ganz) verstanden
habe.
> und wie hilft mir
> die Bernoulli Ungleichung an dieser Stelle=
Weiß ich nicht, aber Du kannst doch mal folgendes machen:
Alle [mm] $a_m=1-1/(m+1)\,$ [/mm] ($m [mm] \in \IN$) [/mm] erfüllen $0 [mm] \le a_m [/mm] < [mm] 1\,.$ [/mm] Weiter gilt für jedes
"genügend große"(!) [mm] $\ell \in \IN$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=0}^{\ell-1}a^k=\frac{1-{(a_m)}^\ell}{1-a_m} \ge \frac{1-1/2}{1-a_m}=\frac{1}{2}*\frac{1}{1-a_m}\,.$
[/mm]
(Das begründet sich mit $0 [mm] \le {(a_m)}^\ell \to [/mm] 0$ bei [mm] $\ell \to \infty$ [/mm] - eventuell musst
Du das aber mit Deinem jetzigen Wissensstand anders - trotzdem aber
sauber - begründen!)
Setze nun noch [mm] $a_m$ [/mm] ein, rechne ein wenig weiter und überlege Dir,
was bei $m [mm] \to \infty$ [/mm] passiert (und was das bedeutet)...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ok. den ersten Teil versteh ich. also ist es doch eine endliche Menge, richtig?
dann zu deiner Ungleichung:
1. Wie kommst du auf [mm] a_m [/mm] ?
2. Wieso setzt du im mittlerem Term aufeinmal 1/2 ein?
3. Also wenn ich jetzt [mm] a_m [/mm] einsetzte erhalte ich:
[mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] * [mm] \left( \bruch{1}{\left( \bruch{1}{m+1} \right)} \right)
[/mm]
oder?
und für m--> unendlich wird der Nenner dann kleiner und demnach der ganze Bruch größer, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok. den ersten Teil versteh ich. also ist es doch eine
> endliche Menge, richtig?
>
> dann zu deiner Ungleichung:
> 1. Wie kommst du auf [mm]a_m[/mm] ?
die Idee resultiert aus
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}\,.$
[/mm]
Wenn der Nenner hier gegen [mm] $0\,$ [/mm] läuft (genau dann, wenn $a [mm] \to [/mm] 1$ beachte
aber, dass $-1 < a < [mm] 1\,$ [/mm] zu erfüllen ist), dann strebt der Bruch rechterhand
gegen [mm] $\infty\,.$ [/mm]
Und "grob gesagt" (nichtmathematisch): Für genügend große [mm] $\ell$ [/mm] ist
[mm] $\sum_{k=0}^{\ell-1} a^k$
[/mm]
"sehr nahe" an
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}\,.$
[/mm]
Daher "hofft man", dass mit $(-1,1) [mm] \ni [/mm] a [mm] \to [/mm] 1$ auch
[mm] $\sum_{k=0}^{\ell-1} a^k$
[/mm]
sich für genügend große [mm] $\ell$ [/mm] "ähnlich" wie
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}$
[/mm]
bei $(-1,1) [mm] \ni [/mm] a [mm] \to [/mm] 1$ verhält.
Also Hoffnung:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}$
[/mm]
schleift, für genügend große(s) [mm] $\ell,$ [/mm] dann
[mm] $\sum_{k=0}^{\ell-1} a^k$
[/mm]
bei $(-1,1) [mm] \ni [/mm] a [mm] \to \infty$ [/mm] "mit sich mit"!
> 2. Wieso setzt du im mittlerem Term aufeinmal 1/2 ein?
Wenn $0 [mm] \le (a_m)^\ell \to [/mm] 0$ gilt, dann gibt es insbesondere ein [mm] $\blue{\ell_0 \in \IN}$
[/mm]
mit
[mm] $\blue{0 \le (a_m)^\ell \le 1/2}$ [/mm] für alle [mm] $\blue{\ell \ge \ell_0\,.}$
[/mm]
> 3. Also wenn ich jetzt [mm]a_m[/mm] einsetzte erhalte ich:
>
> [mm]\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm] * [mm]\left( \bruch{1}{\left( \bruch{1}{m+1} \right)} \right)[/mm]
>
> oder?
> und für m--> unendlich wird der Nenner dann kleiner und
> demnach der ganze Bruch größer, richtig?
Ja, aber schreibe das doch noch um zu
[mm] $=\frac{m+1}{2}\,.$
[/mm]
Hier siehst Du doch sofort, was bei $m [mm] \to \infty$ [/mm] passiert.
Wie gesagt: Es ist die Frage, ob ihr schon Grenzwerte und entsprechendes
Wissen benutzen dürft - ansonsten hast Du obigen blauen Teil separat
zu beweisen. Der Rest sollte dann klar sein (Du kannst aber gerne nochmal
nachfragen, sobald Du "hängenbleibst"):
Angenommen, es gäbe doch eine obere Schranke für [mm] $M\,.$ [/mm] Sei also $S > [mm] 0\,$ [/mm] so,
dass für alle $u [mm] \in [/mm] M$ gilt: $u [mm] \le S\,.$
[/mm]
Wir wählen $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$m [mm] \ge 2S\,.$ [/mm] (korrigiert!)
Dann folgt, wenn [mm] $\ell \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\ell \ge [/mm] ...$ ist: ... Widerspruch!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
also zu Grenzwerten haben wir noch nichts gesagt. Wir haben nur die Definition von Infimum und Supremum gelernt. Also muss ich nun was noch seperat beweisen?
Ich verstehe, wieso m größer ist als der rechte Term. Aber
1. Wie steht S in Zusammenhang mit l? S liegt ja schonmal nicht in der Menge M , da S>u ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Alex,
> also zu Grenzwerten haben wir noch nichts gesagt. Wir haben
> nur die Definition von Infimum und Supremum gelernt. Also
> muss ich nun was noch seperat beweisen?
ja, jedenfalls, wenn Du meine Argumente so verwenden willst. Dann hast
Du halt zu zeigen:
Ist [mm] $\blue{0 \le a < 1\,,}$ [/mm] so gibt es ein [mm] $\blue{\ell_0 \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $\blue{a^\ell \le 1/2}$ [/mm] für alle natürlichen [mm] $\blue{\ell \ge \ell_0}\,.$
[/mm]
> Ich verstehe, wieso m größer ist als der rechte Term.
Wirf' mir bitte keine Satzbröckchen hin. Um was geht es nun? Ich habe
gesagt:
Wir wählen ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\red{m > \frac{S+1}{2}}\,.$
[/mm]
Und das korrigiere ich gerade, denn das war Quatsch: Wir wählen es
besser so, dass
$m [mm] \ge [/mm] 2S$
erfüllt ist. (Eigentlich müßtest Du so langsam eine Idee haben, warum...?!)
> Aber
> 1. Wie steht S in Zusammenhang mit l? S liegt ja schonmal
> nicht in der Menge M , da S>u ...
Na, ist eine Menge nach oben beschränkt, so gilt doch deswegen noch
lange nicht, dass das Supremum der Menge auch ein Maximum ist. Das
macht doch nix... (Was Du mit einem u willst, ist mir aber unklar -
ich habe nirgends u definiert...)
Also nochmal:
Im Prinzip kannst Du alles, was ich geschrieben habe, so benutzen. Damit
baust Du Dir erstmal einen Widerspruchsbeweis.
Das Ganze ist für Dich aber noch nicht vollständig:
Es wird dann vollständig, wenn Du zudem die oben blaumarkierte
Behauptung bewiesen hast. Denn diese verwende ich ja insbesondere
bei meiner Abschätzung!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ohje okay. Das Maximum haben wir in den Vorlesungen noch nicht behandelt ist an dieser Stelle wahrscheinlich auch nicht weiter wichtig.
Ich hänge nur zuerst dort wo ich den Widerspruch beweisen soll...
wie kommt du denn nun auf 2S?
und was hat l nun mit dem widerspruch zu tuen?
PS: bitte verzweifelt nicht an mir. ich bin gerade mal 4 Wochen am studieren
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ohje okay. Das Maximum haben wir in den Vorlesungen noch
> nicht behandelt ist an dieser Stelle wahrscheinlich auch
> nicht weiter wichtig.
eigentlich nicht. Aber so schwer ist das nicht:
Jede Teilmenge von [mm] $\IR\,,$ [/mm] die nach oben beschränkt ist, hat eine kleinste obere
Schranke (mach' Dir bitte klar, dass es unendlich viele obere Schranken gibt!) -
das Ding nennt man Supremum. Wenn dieses Ding auch selbst Bestandteil
der betrachteten Menge ist - also als Element dazugehört - dann nennt
man das Supremum auch Maximum.
> Ich hänge nur zuerst dort wo ich den Widerspruch beweisen
> soll...
> wie kommt du denn nun auf 2S?
Für genügend große(s) [mm] $\ell$ [/mm] hatte ich
[mm] $(\*)$ $\sum_{k=0}^{\ell-1} (a_m)^k\;\ge\;\frac{m+1}{2}\,,$
[/mm]
für $m [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest, und weil mit [mm] $a_m:=1/(m+1)$ [/mm] insbesondere $-1 < [mm] a_m [/mm] < 1$
war, gilt
[mm] $\underbrace{\sum_{k=0}^{\ell-1} (a_m)^k}_{=:u_m}\;\in\;M\,.$
[/mm]
Wenn [mm] $S\,$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $M\,$ [/mm] ist, so besagt das
$m [mm] \le [/mm] S$ für jedes $m [mm] \in M\,.$
[/mm]
Daher müßte dann auch [mm] $u_m \;\le\;S$ [/mm] gelten. Wegen [mm] $(\*)$ [/mm] gilt aber
[mm] $(\*\*)$ $u_m\;\ge\;\frac{m+1}{2}\,.$
[/mm]
Bedenke nun, dass nach Wahl von [mm] $m\,$ [/mm] aber $m [mm] \ge 2S\,$ [/mm] sein soll - benutze das
in [mm] $(\*\*)$ [/mm] und schau, wieso das dann im Widerspruch zu [mm] $u_m \le [/mm] S$ steht!
> und was hat l nun mit dem widerspruch zu tuen?
S.o.!
> PS: bitte verzweifelt nicht an mir. ich bin gerade mal 4
> Wochen am studieren
Aller Anfang ist schwer. Ist normal. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Danke erstmal. Ich versuche es mal:
Für beliebig große m geht der Term [mm] \left( \bruch{m+1}{2} \right) [/mm] gegen unenendlich
und da [mm] u_m [/mm] ( ja ich weiß es ist kein "u" ich weiß aber nicht wo ich den griechischen?? Buchstaben den du dort formulierst in TeX finde. tut mir leid) jedenfalls: wegen [mm] u_m [/mm] > [mm] \left( \bruch{m+1}{2} \right) [/mm] und S> [mm] u_m [/mm]
gilt auch S> [mm] \left( \bruch{m+1}{2} \right) [/mm] das widerspricht jedoch m>2S
kann man das so sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Alex,
> Danke erstmal. Ich versuche es mal:
> Für beliebig große m geht der Term [mm]\left( \bruch{m+1}{2} \right)[/mm]
> gegen unenendlich
ne, für $m [mm] \to \infty$ [/mm] tut er das...
> und da [mm]u_m[/mm] ( ja ich weiß es ist kein "u" ich weiß aber
> nicht wo ich den griechischen?? Buchstaben den du dort
> formulierst in TeX finde. tut mir leid) jedenfalls: wegen
> [mm]u_m[/mm] > [mm]\left( \bruch{m+1}{2} \right)[/mm] und S> [mm]u_m[/mm]
> gilt auch S> [mm]\left( \bruch{m+1}{2} \right)[/mm] das widerspricht
> jedoch m>2S
> kann man das so sagen?
Ich verstehe Deinen Aufbau hier nicht. Nochmal:
Wir hatten
[mm] $u_m \in M\,.$
[/mm]
Zudem hatten wir angenommen, dass [mm] $S\,$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $M\,$ [/mm] sei
(die kann man o.E. als $> [mm] 0\,$ [/mm] annehmen, das ist aber eigentlich erstmal
irrelevant).
Dann hatte ich abgeschätzt
[mm] $u_m \ge \frac{m+1}{2}\,.$
[/mm]
Weiter hatte ich $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m [mm] \ge [/mm] 2S$ angenommen. Daraus folgt doch
[mm] $u_m \ge \frac{m+1}{2} \ge \frac{2S+1}{2}=S+\frac{1}{2}\,.$
[/mm]
Siehst Du, dass das im Widerspruch zu [mm] $u_m \le [/mm] S$ steht?
(Ich verwende hier auch nirgendwo sowas wie $m [mm] \to \infty$...)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ok. Also das steht im Widerspruch, da einerseits ja :
[mm] u_m [/mm] > S+ [mm] \left( \bruch{1}{2} \right)
[/mm]
und anderer seits [mm] u_m [/mm] < S
denn wenn man die erste Ungleuchung umformt erhält man:
[mm] u_m [/mm] - [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] > S
das widerspricht jedoch [mm] u_m [/mm] < S
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok. Also das steht im Widerspruch, da einerseits ja :
> [mm]u_m[/mm] > S+ [mm]\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
nein, wir hatten
[mm] $u_m\;\red{\ge}\;S+1/2\,.$
[/mm]
Du kannst [mm] $>\,$ [/mm] durch [mm] $\ge$ [/mm] ersetzen, aber Du darfst i.a. nicht [mm] $\ge$ [/mm] durch [mm] $>\,$
[/mm]
ersetzen!
> und anderer seits
> [mm]u_m[/mm] < S
Auch hier:
Wir hatten [mm] $u_m \le S\,.$
[/mm]
Also nochmal:
Wegen [mm] $u_m \in [/mm] M$ MUSS dann, wenn [mm] $S\,$ [/mm] obere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist, sicher
[mm] $u_m \le [/mm] S$
gelten.
Wir haben aber [mm] $u_m \ge [/mm] S+1/2$ nachgerechnet.
Begründe mal, warum
[mm] $u_m \ge [/mm] S+1/2$ [mm] $\Longrightarrow$ $u_m [/mm] > [mm] S\,$
[/mm]
gilt. Und dass nicht gleichzeitig [mm] $u_m \le [/mm] S$ und [mm] $u_m [/mm] > S$ gelten kann, das ist
klar, oder?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
achso ja klar. wenn [mm] u_m [/mm] über S+0,5 liegt dann liegt es auch über S..
und da [mm] u_m \in [/mm] M ist und S die kleinste obere Schranke ist, gilt ja auch
[mm] u_m \le [/mm] S
und das widerspricht sich..das verstehe ich
aber wie beweise ich nun, dass es ein [mm] a^l \le \left( \bruch{1}{2} \right)
[/mm]
für alle natürlichen Zahlen l [mm] \le l_0 [/mm] gibt? denn wenn ich für a=0,9 einsetze und für l=1 erhalte ich ja =0,9 und 0,9 [mm] \ge [/mm] als 0,5 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> achso ja klar. wenn [mm]u_m[/mm] über S+0,5 liegt dann liegt es
> auch über S..
> und da [mm]u_m \in[/mm] M ist und S die kleinste obere Schranke
> ist, gilt ja auch
> [mm]u_m \le[/mm] S
> und das widerspricht sich..das verstehe ich
>
> aber wie beweise ich nun, dass es ein [mm]a^l \le \left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
>
> für alle natürlichen Zahlen l [mm]\le l_0[/mm] gibt? denn wenn ich
> für a=0,9 einsetze und für l=1 erhalte ich ja =0,9 und
> 0,9 [mm]\ge[/mm] als 0,5 ?
naja, ich sage dann ja auch nicht
$0,9 [mm] \le 1/2\,,$
[/mm]
sondern ich sage
[mm] $0,9^{\red{\ell}} \le [/mm] 1/2$ für alle [mm] $\ell \ge \ell_0\,,$
[/mm]
mit einem noch zu bestimenden [mm] $\ell_0\,.$
[/mm]
Ich gebe Dir mal den Ansatz:
Ist $0 [mm] \le [/mm] a < [mm] 1\,,$ [/mm] so ist $1/a > [mm] 1\,.$ [/mm] Setze [mm] $p:=1/a-1\,.$ [/mm] Dan ist $p > [mm] 0\,.$ [/mm] (Klar?)
Ferner gilt
[mm] $a^\ell=\frac{1}{(p+1)^\ell}\,.$
[/mm]
(Klar?)
Wegen Bernoulli (man kann auch die allgemeine bin. Formel hernehmen)
gilt aber
[mm] $(p+1)^\ell \ge \underbrace{1+\ell*p}_{>\,0}\,.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $a^\ell=\frac{1}{(p+1)^\ell}\;\le\;...$?
[/mm]
(Weiter abschätzen, und dann überlegen, wie das weiterhilft...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Ich gebe Dir mal den Ansatz:
> Ist [mm]0 \le a < 1\,,[/mm] so ist [mm]1/a > 1\,.[/mm] Setze [mm]p:=1/a-1\,.[/mm] Dan
> ist [mm]p > 0\,.[/mm] (Klar?)
>
> Ferner gilt
>
> [mm]a^\ell=\frac{1}{(p+1)^\ell}\,.[/mm]
>
> (Klar?)
naja, wie kommst du an dieser Stelle auf den Nenner? vorher bestand der Nenner ja aus 1-a...
>
> Wegen Bernoulli (man kann auch die allgemeine bin. Formel
> hernehmen)
> gilt aber
>
> [mm](p+1)^\ell \ge \underbrace{1+\ell*p}_{>\,0}\,.[/mm]
>
> Also folgt
>
> [mm]a^\ell=\frac{1}{(p+1)^\ell}\;\le\;...[/mm]?
Also folgt:
[mm] a^l [/mm] = [mm] \left( \bruch{1}{p+1} \right) \le \left( \bruch{1}{1+l*p} \right)
[/mm]
stimmt das so?Wie kann ich nun weiter umformen?
vielleicht
[mm] a^l \le \left( \bruch{1}{1+l*p} \right)
[/mm]
Doch wie forme ich nun so um das [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] in der Ungleichung vorkommt?
PS: Ich habe mir alle Schritte von gestern nochmal auführlich angeguckt und verstehe diese auch..allerdings frage ich mich wie du auf die Ungleichung m [mm] \ge [/mm] 2S kommst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz, denn am Wochenende werde ich wenig bis keine Zeit haben:
> > Ich gebe Dir mal den Ansatz:
> > Ist [mm]0 \le a < 1\,,[/mm] so ist [mm]1/a > 1\,.[/mm] Setze [mm]p:=1/a-1\,.[/mm]
> Dan
> > ist [mm]p > 0\,.[/mm] (Klar?)
> >
> > Ferner gilt
> >
> > [mm]a^\ell=\frac{1}{(p+1)^\ell}\,.[/mm]
> >
> > (Klar?)
> naja, wie kommst du an dieser Stelle auf den Nenner?
> vorher bestand der Nenner ja aus 1-a...
Nein, es war
[mm] $p=1/a-1=\frac{1}{a}-1\,.$
[/mm]
("Punkt-vor-Strich!" Dabei ist [mm] $/\,$ [/mm] als [mm] $:\,$ [/mm] gemeint, wie üblich!)
Also ist
[mm] $p+1=\frac{1}{a}$
[/mm]
und damit
[mm] $\frac{1}{p+1}=\frac{1}{1/a}=a\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $a^\ell=\left(\frac{1}{p+1}\right)^\ell=\frac{1}{(p+1)^\ell}\,.$
[/mm]
>
>
>
> > Wegen Bernoulli (man kann auch die allgemeine bin. Formel
> > hernehmen)
> > gilt aber
> >
> > [mm](p+1)^\ell \ge \underbrace{1+\ell*p}_{>\,0}\,.[/mm]
> >
> > Also folgt
> >
> > [mm]a^\ell=\frac{1}{(p+1)^\ell}\;\le\;...[/mm]?
>
> Also folgt:
> [mm]a^l[/mm] = [mm]\left( \bruch{1}{p+1} \right) \le \left( \bruch{1}{1+l*p} \right)[/mm]
>
> stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich nun weiter umformen?
> vielleicht
> [mm]a^l \le \left( \bruch{1}{1+l*p} \right)[/mm]
Genau das steht doch vorher da! Wo ist nun die neue Umformung?
> Doch wie forme
> ich nun so um das [mm]\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm] in der
> Ungleichung vorkommt?
Beachte, dass $p > [mm] 0\,$ [/mm] ist. Du suchst nun ein [mm] $\ell_0 \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $\frac{1}{1+\ell*p} \le \frac{1}{2}$ [/mm] für alle [mm] $\ell \ge \ell_0\,.$
[/mm]
(Ich selbst würde an dieser Stelle das schon als klar/trivial ansehen und
mit dem Satz von Archimedes argumentieren - vor allem reicht es ja
eigentlich, wenn wir nur ein einziges [mm] $\ell' \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{1}{1+\ell'*p}\le \frac{1}{2}$
[/mm]
finden. Das siehst Du, wenn Du den Beweis von mir detailliert betrachtest!
Aber macht ja nix... machen wir weiter: )
Na, versuch' mal:
[mm] $(\*)$ $\frac{1}{1+\ell*p} \le \frac{1}{2}$
[/mm]
so umzuformen, dass eine äquivalente Ungleichung der Art
[mm] $\ell \ge [/mm] ...$
rauskommt. Dann, wie gesagt: Versuche, ein [mm] $\ell_0$ [/mm] passend zu definieren!
(Am Besten "naiv" mit der Gaußklammer [in der ja auch irgendwie das
Axiom von Archimedes verbaut ist, deswegen "naiv"]; denn bedenke:
Wir wollen auch [mm] $\ell_0 \in \IN$ [/mm] erfüllt haben!)
P.S. Geübte Augen erkennen aus [mm] $(\*)$ [/mm] sofort die Bedingung
[mm] $\ell*p \ge 1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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also ich habe die Ungleichung jetzt so umgeformt, dass da steht:
1 [mm] \le [/mm] 0,5(1+lp)
2 [mm] \le [/mm] 1 + lp
1 [mm] \le [/mm] l*p
aber unter welchen Bedingungen soll ich jetzt ein [mm] l_0 [/mm] bestimmen? ich steh gerade wirklich am Schlauch..nach dem archimedischem Axion gilt ja y>x>0
und nx>y
hier gilt doch dann p*l >1
Also steht l in Abhängigkeit zu p.. aber wie formuliere ich hier weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 18.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich soll für diese Menge das (1) Supremum und das (2)
> Infimum bestimmem
> M= [mm]\summe_{n=0}^{l-1} a^n[/mm]
> mit l Element aus [mm]\IN[/mm] und -1<a<1
da steht aber keine Menge - Du meinst wohl
[mm] $M_a:=\left\{\sum_{n=0}^{\ell-1}a^n:\;\; \ell \in \IN\right\}$ [/mm] mit $-1 < a < [mm] 1\,.$
[/mm]
Bzw. hier wäre meine erste Frage schon:
Meinst Du [mm] $M=M_a\,,$ [/mm] wobei [mm] $a\,$ [/mm] quasi dann einmal beliebig, aber fest, gewählt
wurde (mit Erfüllung der Bedingung $-1< a < [mm] 1\,$), [/mm] oder meinst Du
[mm] $M=\bigcup_{-1 < a < 1} M_a=\left\{\sum_{n=0}^{\ell-1}a^n:\;\; \ell \in \IN,\;-1 < a < 1\right\}$?
[/mm]
(Ich tippe auf letzteres...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ich meine letzteres tut mir leid, die Formelschreibweise in diesem Forum bin ich noch nicht ganz gewöhnt. Was schlägst du nun vor?
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