Infimum konvexer Funktionen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Do 03.04.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Let f, [mm] f_{i} [/mm] : X [mm] \to \IR, [/mm] i [mm] \in [/mm] I be convex functions.
Is the infimum of two convex functions again convex? |
Hallo liebe Mathefreunde,
Diese Aufgabe ist sicherlich nicht so schwer, aber irgendwie kann ich mit dem Infimum-Begriff nicht so viel anfangen.
Allgemein gilt ja für eine convexe Funktion:
[mm] \forall \lambda \in [/mm] [0,1] , [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X
[mm] f(\lambda [/mm] x + (1 - [mm] \lambda [/mm] )y [mm] \le \lambda [/mm] f(x) + (1- [mm] \lambda)f(y)
[/mm]
Infimum kenne ich jedoch nur als größte untere Schranke. Ist dann das infimum von zwei konvexen Funktionen, eine der beiden Funktionen?
*Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch*
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
kittycat
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 03.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Kittycat,
betrachte das Beispiel:
f(x) = 1, g(x) = x
dann gilt (inf(f,g))(x) = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{if }x \leq 1 \\ 1, & \mbox{if } x >1 \end{cases}
[/mm]
In einer Skizze sieht man eigentlich schon, dass diese Funktion nicht konvex ist, aber wenn man z.B. [mm] \lambda [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, [/mm] x = [mm] \frac{1}{2} [/mm] und y=2 wählt, bekommt man für die Konvexeigenschaft:
h( [mm] \frac{5}{4} [/mm] ) = 1 > [mm] \frac{1}{2} h(\frac{1}{2}) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} [/mm] h(2) = [mm] \frac{3}{4}.
[/mm]
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Do 03.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Vielen, lieben Dank Riley!
Also zeig ich mit diesem Gegenbsp., dass das Infimum von zwei konvexen Funktionen nicht konvex ist.
Gruß
kittycat
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