Infimum einer Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Sa 26.11.2011 | | Autor: | fab42 |
| Aufgabe | Sei eine Teilmenge [mm] \mathcal{A}\subseteq\IR [/mm] gegeben durch
[mm] \mathcal{A}=\{\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n} ; n,m\in\IN\}.
[/mm]
Bestimmen Sie (sofern existent) das Maximum, Minimum, Infimum und Supremum von A. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eine andere Person hatte zu diese Aufgabe bereits eine Frage gestellt:https://matheraum.de/forum/Bestimmen_von_max_sup_min_inf/t621323?v=t
Hallo,
das Supremum und damit in diesem Fall auch das Maximum habe ich bereits ohne Probleme bewiesen.
[mm] sup(A)=\bruch{3}{2}=max(A)
[/mm]
Desweiteren behaupte ich das Infimum ist 0.
Ich scheitere dabei zu zeigen, dass 0 tatsächlich die größte untere Schranke ist.
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig, dann ist zu zeigen [mm] \exists n,m\in\IN [/mm] mit
[mm] 0+\varepsilon>\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}
[/mm]
leider ist mir von hier an unklar wie ich zeigen kann das [mm] \varepsilon>\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n} [/mm] ist.
vielen dank im vorraus
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Sei eine Teilmenge [mm]\mathcal{A}\subseteq\IR[/mm] gegeben durch
> [mm]\mathcal{A}=\{\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n} ; n,m\in\IN\}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie (sofern existent) das Maximum, Minimum,
> Infimum und Supremum von A.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Eine andere Person hatte zu diese Aufgabe bereits eine
> Frage
> gestellt:https://matheraum.de/forum/Bestimmen_von_max_sup_min_inf/t621323?v=t
>
> Hallo,
> das Supremum und damit in diesem Fall auch das Maximum
> habe ich bereits ohne Probleme bewiesen.
> [mm]sup(A)=\bruch{3}{2}=max(A)[/mm]
>
> Desweiteren behaupte ich das Infimum ist 0.
> Ich scheitere dabei zu zeigen, dass 0 tatsächlich die
> größte untere Schranke ist.
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig, dann ist zu zeigen [mm]\exists n,m\in\IN[/mm]
> mit
> [mm]0+\varepsilon>\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}[/mm]
>
> leider ist mir von hier an unklar wie ich zeigen kann das
> [mm]\varepsilon>\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}[/mm] ist.
> vielen dank im vorraus
> gruß
Hallo,
da [mm] \bruch{1}{2^{m}} [/mm] wesentlich schneller gegen Null geht, ist [mm] \bruch{1}{n}>\bruch{1}{2^{m}}. [/mm] (Ach so, ich betrachte die Einschränkung n=m.)
Versuche dich mal an der Ungleichungskette
[mm]\varepsilon> \bruch{1}{n}}+\bruch{1}{n}>\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}[/mm] bzw. an deren vorderem Teil.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Sa 26.11.2011 | | Autor: | fab42 |
> Versuche dich mal an der Ungleichungskette
> [mm]\varepsilon> \bruch{1}{n}}+\bruch{1}{n}>\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}[/mm]
> bzw. an deren vorderem Teil.
> Gruß Abakus
Ich bin mir nicht sicher was ich damit anfangen kann.
Aus dem archimedischen axiom folgt unmittelbar [mm] \varepsilon> \bruch{1}{n} [/mm] daraus kann ich hier nur folgern [mm] 2\varepsilon> \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> > Versuche dich mal an der Ungleichungskette
> > [mm]\varepsilon> \bruch{1}{n}}+\bruch{1}{n}>\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}[/mm]
> > bzw. an deren vorderem Teil.
> > Gruß Abakus
>
> Ich bin mir nicht sicher was ich damit anfangen kann.
> Aus dem archimedischen axiom folgt unmittelbar
> [mm]\varepsilon> \bruch{1}{n}[/mm] daraus kann ich hier nur folgern
> [mm]2\varepsilon> \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}[/mm] oder?
Nenne das Ding doch statt [mm] \epsilon [/mm] mal [mm] \epsilon_1.
[/mm]
Definiere ein neues Epsilon namens [mm] \epsilon_2 [/mm] mit der Eigenschaft [mm] \epsilon_2=2*\epsilon_1.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 26.11.2011 | | Autor: | fab42 |
Tut mir leid, ich bin wohl etwas schwerfällig
Wie komme ich so zum Ziel?
Muss ich vielleicht garnichts mehr genauer zeigen? Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 kann ich doch m,n [mm] \in\IN [/mm] finden so dass gilt [mm] \varepsilon<\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}
[/mm]
ist das nicht trivial? :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Tut mir leid, ich bin wohl etwas schwerfällig
> Wie komme ich so zum Ziel?
> Muss ich vielleicht garnichts mehr genauer zeigen? Zu
> jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 kann ich doch m,n [mm]\in\IN[/mm] finden so
> dass gilt [mm]\varepsilon<\bruch{1}{2^{m}}+\bruch{1}{n}[/mm]
> ist das nicht trivial? :P
Du meinst es, glaube ich, umgekehrt: Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es $m, n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\bruch [/mm] 1 [mm] {2^m} [/mm] + [mm] \bruch [/mm] 1 n < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Und das ist tatsächlich nahezu "trivial", beziehungsweise ein nach Archimedes benanntes Postulat: Es gibt ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $1/n<\epsilon/2$. [/mm] Dann ist erst recht [mm] $1/2^n<\epsilon/2$.
[/mm]
Hilft das?
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch nur [mm] 1/2^m<\epsilon/2 [/mm] und [mm] 1/n<\epsilon/ [/mm] setzen, wofür du sofort ein m und m angeben kannst.
und das ist beinahe trivial.
Gruss leduart
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