Infimum, Supremum bestimmen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Di 26.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Infimum, Supremum (Minimum und Maximum, falls vorhanden)
$M:= [mm] \left\{\br{x}{1+x}:x > -1\right\}$
[/mm]
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Hallo.
Ich versuche mich an der Aufgabe, mir fehlt aber der Durchblick.
Zunächst einmal sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Dann mache ich eine Fallunterscheidung, nämlich
Fall 1:
$1 [mm] \ge \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \br{x}{1+x}>1-\varepsilon$
[/mm]
Nach x aufgelöst ergibt sich
$x > [mm] \br{1-\varepsilon}{\varepsilon} \ge [/mm] 0$
Fall 2:
[mm] $\varepsilon [/mm] > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0> [mm] 1-\varepsilon$
[/mm]
Eine Asymptotenbetrachtung liefert mir gar nichts. Eine Polstelle ist ja bei x=-1. Da läuft die Funktion von rechts nach minus unendlich. Von links nach plus unendlich. Allerdings haben wir auch eine Asymptote y=1.
Für minus Unendlich nähert sich die Funktion der Asymptote an, genauso wie für Plus Unendlich.
Also die Asymptote ist definitiv etwas - Supremum oder Infimum. Und dann habe ich einmal minus Unendlich und Plus Unendlich (wenn die Fkt gegen die Polstelle läuft).
Ich habe hier als Kontrollergebnis, dass das Infimum minus Unendlich sein soll und das Supremum ist gleich 1.
Nur wie bringe ich meinen zweiten Fall zu Ende? Da berechne ich ja gerade das Supremum.
Wie gehe ich beim Infimum vor?
Frohen zweiten Weihnachtsfestag wünscht euch
Johann
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> Bestimmen Sie Infimum, Supremum (Minimum und Maximum, falls
> vorhanden)
>
> [mm]M:= \{\br{x}{1+x}:x > -1\}[/mm]
>
>
> Hallo.
>
> Ich versuche mich an der Aufgabe, mir fehlt aber der
> Durchblick.
Hallo,
verschaff ihn Dir!
Bevor Du wild drauflosrechnest, überleg' Dir erstmal, was Du hast und was Du willst.
Was hast Du? Die Menge M, welche alle Werte, die [mm] \br{x}{1+x} [/mm] annimmt für x > -1, enthält.
Gefragt ist nun nach dem Supremum/Infimum, was die Frage, ob die Menge beschränkt ist, beinhaltet.
Da würde ich mir zunächst einmal einen Überblick verschaffen, z.B. durch Zeichnen der Funktion [mm] \br{x}{1+x} [/mm] im hier interessierenden Bereich.
Anhand des Bildes wirst Du einen Verdacht schöpfen bzgl. der Beschränkung nach oben und unten.
Diesen kannst du dann als Behauptung formulieren und beweisen.
> Ich habe hier als Kontrollergebnis, dass das Infimum minus Unendlich sein soll
Das finde ich abenteuerlich... [mm] -\infty [/mm] die größte untere Schranke???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Tag.
Leider komme ich erst jetzt dazu, einiges nachzuarbeiten...
> > Bestimmen Sie Infimum, Supremum (Minimum und Maximum, falls
> > vorhanden)
> >
> > [mm]M:= \{\br{x}{1+x}:x > -1\}[/mm]
> Da würde ich mir zunächst einmal einen Überblick
> verschaffen, z.B. durch Zeichnen der Funktion [mm]\br{x}{1+x}[/mm]
> im hier interessierenden Bereich.
> Anhand des Bildes wirst Du einen Verdacht schöpfen bzgl.
> der Beschränkung nach oben und unten.
Ne, den Verdacht habe ich leider nicht. -1 ist ja eine Polstelle und deswegen muss die Funktion doch auch (an der Stelle) gegen Plus Unendlich oder Minus Unendlich laufen?
> Diesen kannst du dann als Behauptung formulieren und
> beweisen.
>
> > Ich habe hier als Kontrollergebnis, dass das Infimum minus
> Unendlich sein soll
>
> Das finde ich abenteuerlich... [mm]-\infty[/mm] die größte untere
> Schranke???
Ja, etwa nicht?
Also zu zeigen: dass die Funktion beschränkt ist.
Nach oben ist es mir klar mit Hilfe der Asymptote:
[mm] \br{x}{1+x} [/mm] = 1 - ...
Hat Loddar ja auch schon vorgerechnet.
D.h. sup=1
Ebenfalls max=1
Bleibt zu zeigen, ob Die Funktion nach unten beschränkt ist.
[mm] $\exists [/mm] s [mm] \in \IR [/mm] : [mm] x\ge [/mm] s [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$
Sei $s=inf(M) $
M die Menge, die die Elemente der Funktion enthält
[mm] $s\le \br{x}{1+x}$
[/mm]
Also ich würds immer mit dem Limes machen von Rechts gegen -1
[mm] $\lim_{n \rightarrow -1+0} \br{x}{1+x} [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
Folglich inf(M) = - [mm] \infty, [/mm] falls man das so sagen darf...
Abenteuerlich klingt aber so nach falsch. Folglich muss mein "Rechenweg" ja auch falsch sein.
Grüße,
Johann
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> Folglich inf(M) = - [mm]\infty,[/mm] falls man das so sagen darf...
Hallo,
genau das meinte ich...
Wenn die Menge sich ungehindert ins [mm] -\infty [/mm] ausdehnt hat sie ja eben keine untere Schranke.
Folglich existiert das Infimum nicht.
(Aber die Sprech- und Schreibweisen unterscheiden sich oft ein wenig: wenn Du ganz klar feststelltst, daß in Deiner Vorlesung bei einer nach unbeschränkten Funktion inf = [mm] -\infty [/mm] geschrieben wird, darfst Du es in Deiner Hausübung auch tun. Ansonsten allergrößte Vorsicht! ICH würde schreiben: es gibt kein Infimum, weil die Menge nach unten nicht beschränkt ist, denn...)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 26.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johann!
Ergänzend zu Angela's Antwort gebe ich Dir noch folgenden Umformungstipp, mit dem doch einiges deutlicher werden sollte:
[mm] $\bruch{x}{1+x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{1}+x\red{-1}}{1+x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+x}{1+x}+\bruch{-1}{1+x} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{1+x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Di 26.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Johann!
>
>
> Ergänzend zu Angela's Antwort gebe ich Dir noch folgenden
> Umformungstipp, mit dem doch einiges deutlicher werden
> sollte:
>
> [mm]\bruch{x}{1+x} \ = \ \bruch{\red{1}+x\red{-x}}{1+x} \ = \ \bruch{1+x}{1+x}+\bruch{-1}{1+x} \ = \ 1-\bruch{1}{1+x}[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo
Ich Vermute mal du meinst im ersten Schritt:
[mm] \bruch{x}{x+1}=\bruch{1+x\red{-1}}{x+1}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Di 26.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Selbstverständlich ... (wollte ja nur sehen, ob ihr aufpasst  ).
Schönen 2. Feiertag
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 So 31.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Muss damit ein Maximum existiert, die Menge nicht das Supremum enthalten?
Also wenn man sich die Menge als Funktion vorstellt müsste dann die Funktion den Wert 1 irgendwann annehmen damit ein Maximum existiert, sonst ist 1 zwar ein Infimum, aber kein Maximum, oder habe ich da was falsch verstanden?
Wenn dem so ist besitzt die Menge nämlich kein Maximum.
Grüße Baufux
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 31.12.2006 | | Autor: | baufux |
Klar! War nur ein verschreiber.
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Ganz genau!
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