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Hallo. Ich habe mal eine Frage bezüglich Supremum und Infimum. Meiner Meinung nach waren das doch Hoch und Tiefpunkte, welche nicht wirklich angenommen werden. Ich habe als Beispiel mal die Aufgabe...
[mm] f(x)=\bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] Polynomdivision bringt mich auf [mm] 1-\bruch{1}{x^2+1}
[/mm]
Was ich nun machen würde, ist den Grenzwert von [mm] 1-\bruch{1}{x^2+1} [/mm] zu berechnen. Das wäre ja dann [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}1=1 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{1}{x^2+1}=0
[/mm]
Bzw. 1-0. Weshalb ich sagen würde, dass das Supremum 1 wäre. Infimum gibt es nicht.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Di 22.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo. Ich habe mal eine Frage bezüglich Supremum und
> Infimum. Meiner Meinung nach waren das doch Hoch und
> Tiefpunkte, welche nicht wirklich angenommen werden. Ich
> habe als Beispiel mal die Aufgabe...
Hallo,
da gibt es grundlegende Unterschiede.
Ein Punkt besitzt (im kartesischen KS) eine x- und eine y-Koordinate.
Eine Stelle (z.B. Nullstelle, Extremstelle) ist nur die x-Koordinate eines bestimmten Punkte.
Ein Funktionswert ist nur die y-Koordinate.
Supremum und Infimum können Funktionswerte sein (aber keine "Punkte").
Wenn eine Funktion ein Maximum (also einen maximalen Funktionswert) bzw. ein Minimum besitzt, dann gilt Maximum = Supremum bzw. Minimum = Infimum.
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> [mm]f(x)=\bruch{x^2}{x^2+1}[/mm] Polynomdivision bringt mich auf
> [mm]1-\bruch{1}{x^2+1}[/mm]
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> Was ich nun machen würde, ist den Grenzwert von
> [mm]1-\bruch{1}{x^2+1}[/mm] zu berechnen. Das wäre ja dann
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}1=1[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{1}{x^2+1}=0[/mm]
> Bzw. 1-0. Weshalb ich sagen würde, dass das Supremum 1
> wäre. Infimum gibt es nicht.
Falsch. Die Funktionswerte können für [mm] f(x)=\bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] "nach oben" beliebig nah an 1 herangehen, ohne 1 zu erreichen.
Damit gibt es kein Maximum, wohl aber ein (nicht im Wertebereich liegendes) Supremum 1.
(Maximum ist nach Definition die kleinste obere Schranke).
Infimum und gleichzeitig Minimum ist 0.
Gruß Abakus
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> MFG domenigge135
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