Infimum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie ein Beispiel an. Begründen Sie kurz, dass Ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften hat.
Eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] , die kein Infimum und kein Maximum hat, aber ein Supremum. |
Hallo,
die Lösung der Aufgabe ist M:= [mm] (-\infty [/mm] , 5) [mm] \subseteq \IR
[/mm]
Die Begründung dafür, dass kein Infimum existiert, verstehe ich nicht:
M besitzt kein Infimum, denn angenommen es würde ein x [mm] \in \IR [/mm] existierten, sodass x = inf M
Dann ist x insbesondere eine untere Schranke für M, d.h x [mm] \le [/mm] m für alle m [mm] \in [/mm] M. Es gilt jedoch y = x-1 [mm] \in [/mm] M mit y < x
Widerspruch. M besitzt kein Infimum.
Was soll y = x-1 y < x hier bedeuten ? Man muss doch zeigen, dass es keine größere untere Schranke geben kann.
Ich kenne die Definition des Infimums so:
Eine Zahl i [mm] \in \IR [/mm] heißt Infimum von A (A Teilmenge von [mm] \IR) [/mm] , falls sie die größere untere Schranke von A ist, d.h:
(1) i [mm] \le [/mm] a für alle a [mm] \in [/mm] A
(2) für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein a [mm] \in [/mm] A, sodass a < i + [mm] \varepsilon [/mm] ( es existert keine größere untere Schranke)
Ich bitte um Aufklärung.
Vielen Dank im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 So 27.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Wenn eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ein Infimm hat, so ist sie insbes. nach unten beschränkt.
Obige Menge M ist das aber nicht, also ex. Inf M nicht.
Fred
|
|
|
| |
|
Und das wurde mit y = x-1 , y <x gezeigt ?
|
|
|
| |
|
Es gibt immer eine kleinere Zahl, die in der Menge enthalten ist.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 27.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Achso, so ist das zu verstehen , alles klar, vielen Dank für die beiden Antworten.
|
|
|
|
