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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:58 Fr 19.06.2015 | | Autor: | ivanhoe |
| Aufgabe | Gesucht ist die lokale Darstellung der induzierten kovarianten Ableitung.
$ f: [mm] \Sigma [/mm] -> (M,g) $ Immersion und M riem. Mannigfaltigkeit.
Wie sieht $ [mm] D_i \partial_j [/mm] f in lok. Koordinaten aus, wobei D der Levi-Civita-Zusammenhang auf M ist und [mm] D_i [/mm] die kovariante Ableitung längs f. |
Hallo Leute,
ich bin seit längerem an diesem Thema dran und glaube, ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. Ich hoffe ihr könnt mir helfen:
Ich habe versucht, mir das irgendwie zusammenzureihmen, komme aber immer wieder durcheinander. Die erste Idee war, für allgemeine Vektorfelder X, Y längs f die induzierte kovariante Ableitung zu bestimmen
X = [mm] X^i \bruch{\partial}{\partial x^i} \circ [/mm] f
Y = [mm] Y^i \bruch{\partial}{\partial x^i} \circ [/mm] f
und wenn ich richtig liege, ist für mich:
[mm] $f^{\*}D_X [/mm] Y = (X [mm] Y^k [/mm] + [mm] X^i Y^j \Gamma^k_{ij} \circ [/mm] f ) [mm] \bruch{\partial}{\partial x^k} \circ [/mm] f$
ist dann analog dazu:
[mm] $f^{\*}D_{\partial_i}\partial_j [/mm] f = [mm] (\partial_i \partial_j f^k [/mm] + [mm] \partial_i f^n \partial_j f^m \Gamma^k_{nm} \circ [/mm] f) [mm] \bruch{\partial}{\partial x^k} \circ [/mm] f $
wobei $ [mm] f^{\*} [/mm] D $ der auf [mm] $\Sigma$ [/mm] induzierte Zusammenhang ist. die Christoffelsymbole in den beiden Formeln sind die des ursprünglichen Zusammenhangs auf M, also D.
Weiter wäre die Frage, wenn ich jetzt meine Koordinaten in einem Punkt p so wählen will, dass die induzierte Metrik $h = [mm] f^{\*}g [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] wähle und die induzierten Christoffelsymbole folglich gleich 0 sind, sind dann auch die Christoffelsymbole der Metrik g gleich 0?
Ich bedanke mich schonmal für Hilfestellungen und hoffe, meine Frage ist verständlich genug :D
Viele Grüße
ivanhoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 21.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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