Induktionsbeweise < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | (a) [mm] \summe_{j=1}^{m} [/mm] (5+j) = 5m + [mm] \bruch{m(m+1)}{2} [/mm] für alle m [mm] \in \IN
[/mm]
(b) [mm] \summe_{i=1}^{m} \summe_{j=1}^{n} [/mm] (i+j) = [mm] \bruch{nm(n+m+2)}{2} [/mm] für alle m,n [mm] \in \IN [/mm] |
Hey,
ich komme mit diesen beiden Aufgaben leider nicht wirklich zurecht.
zu (a)
Induktionsanfang: [mm] n_{0} [/mm] = 1 , 6=(5+1)= 5*1 + [mm] \bruch{1(1+1)}{2}
[/mm]
Induktionsbehauptung:
Wenn: [mm] \summe_{j=1}^{m} [/mm] (5+j) = 5m + [mm] \bruch{m(m+1)}{2} [/mm] für alle m [mm] \in \IN [/mm]
gelte, dann gilt auch
[mm] \summe_{j=1}^{m+1} [/mm] (5+j) = 5(m+1) + [mm] \bruch{(m+1)((m+1)+1)}{2}
[/mm]
Induktionsbeweis:
Mein Ansatz:
Nun muss ich ja
5m + [mm] \bruch{m(m+1)}{2}+5+m+1 [/mm] so umformen, dass meine Behauptung erfüllt ist.
Zunächst habe ich so umgeformt:
5(m+1) + [mm] \bruch{m(m+1)}{2}+m+1
[/mm]
Stimmt das soweit? An diesem Punkt weiss ich jedoch nicht weiter.
zu(b) Kann mir hier vielleicht bitte jemand einen Ansatz geben wie ich mit einer Doppelsumme umzugehen habe?
Vielen Dank schonmal,
Grüße
|
|
| |
|
Hallo Neongelb,
was dürft Ihr verwenden?
> (a) [mm]\summe_{j=1}^{m}[/mm] (5+j) = 5m + [mm]\bruch{m(m+1)}{2}[/mm] für alle m [mm]\in \IN[/mm]
>
> (b) [mm]\summe_{i=1}^{m} \summe_{j=1}^{n}[/mm] (i+j) = [mm]\bruch{nm(n+m+2)}{2}[/mm] für alle m,n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Hey,
Ho.
> ich komme mit diesen beiden Aufgaben leider nicht wirklich
> zurecht.
>
> zu (a)
Diese Aufgabe wäre schnell gelöst, wenn man die Gaußsche Summenformel verwenden dürfte.
> Induktionsanfang: [mm]n_{0}[/mm] = 1 , 6=(5+1)= 5*1 +
> [mm]\bruch{1(1+1)}{2}[/mm]
>
> Induktionsbehauptung:
> Wenn: [mm]\summe_{j=1}^{m}[/mm] (5+j) = 5m + [mm]\bruch{m(m+1)}{2}[/mm] für
> alle m [mm]\in \IN[/mm]
> gelte, dann gilt auch
> [mm]\summe_{j=1}^{m+1}[/mm] (5+j) = 5(m+1) +
> [mm]\bruch{(m+1)((m+1)+1)}{2}[/mm]
>
> Induktionsbeweis:
> Mein Ansatz:
> Nun muss ich ja
> 5m + [mm]\bruch{m(m+1)}{2}+5+m+1[/mm] so umformen, dass meine
> Behauptung erfüllt ist.
Genau. Bis hier also alles richtig.
> Zunächst habe ich so umgeformt:
> 5(m+1) + [mm]\bruch{m(m+1)}{2}+m+1[/mm]
>
> Stimmt das soweit? An diesem Punkt weiss ich jedoch nicht
> weiter.
Ja, das ist ja bisher nur Distributivgesetz.
Weiter gehts mit [mm] 5(m+1)+\bruch{m(m+1)}{2}+\bruch{2(m+1)}{2}.
[/mm]
Dazu ganz wenig Bruchrechnung und wieder das Distributivgesetz. Zu deutsch: Ausklammern.
> zu(b) Kann mir hier vielleicht bitte jemand einen Ansatz
> geben wie ich mit einer Doppelsumme umzugehen habe?
Wenn Du a) gelöst hast, kannst Du die gleiche Methode ja mal auf die innere Summe anwenden, so dass das Summenzeichen wegfällt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Neongelb |
Okay, vielen Dank, die (a) habe ich jetzt gelöst. War Dank deinem Anstoß eigentlich gar nicht mal so schwer. :).
zu(b): Heißt das ich lasse das i einfach mal auf 1 wie beim Induktionsanfang und beweise dann erstmal das innere Summenzeichen oder wie genau funktioniert das? :P
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay, vielen Dank, die (a) habe ich jetzt gelöst. War Dank
> deinem Anstoß eigentlich gar nicht mal so schwer. :).
>
> zu(b): Heißt das ich lasse das i einfach mal auf 1 wie
> beim Induktionsanfang und beweise dann erstmal das innere
> Summenzeichen oder wie genau funktioniert das? :P
Du behandelst das i genauso wie in Aufgabe a) die 5 - einfach als feste Zahl, genauer: als Parameter. Dann summierst Du mit dem festen i über die Indexvariable j. Dazu wirst Du die Lösung aus a) mit verwenden können, halt nur mit i statt 5.
Dann hast Du nur noch die eine Summe (nämlich die mit dem i).
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Neongelb |
Tut mir Leid, dass ich mich erst jetzt wieder melde aber irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz. Für meinen Induktionsanfang habe ich einfach sowohl für i als auch für j 1 eingesetzt. Ist das so richtig?
Wenn ich dann das m wie eine feste Zahl behandle entsteht bei mir das:
I.-Behauptung: $ [mm] \summe_{i=1}^{m} \summe_{j=1}^{n+1} [/mm] $$ (i+j) = [mm] \bruch{(n+1)m((n+1)+m+2)}{2} [/mm] $
I.-Beweis:
[mm] \bruch{n*m(n+m+2)}{2}+(m [/mm] + n+1)
Geht das in die richtige Richtung? Ich weiss nun nur überhaupt nicht wie ich das zu meiner Induktionsbehauptung umformen soll.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
Du kannst doch aus Aufgabe a) folgern: [mm] \summe_{j=1}^{n}(i+j)=n*i+\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Wenn nicht, dann musst Du das noch beweisen, das geht halt genauso wie in Aufgabe a).
Damit wird aus der Doppelsumme
[mm] \summe_{i=1}^{m}\summe{j=1}^{n}(i+j)=\summe_{i=1}^{m}\left(n*i+\bruch{n(n+1)}{2}\right)
[/mm]
Das geht im Prinzip auch wieder genauso. Da n nicht von i abhängt, ist der Bruch ist ja jetzt eine feste Zahl, die immer mitsummiert wird.
Im Prinzip müsstest Du sogar ohne weitere Induktion die angegebene Formel aufschreiben können, aber da Induktion gefordert ist...
> Tut mir Leid, dass ich mich erst jetzt wieder melde aber
> irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz. Für meinen
> Induktionsanfang habe ich einfach sowohl für i als auch
> für j 1 eingesetzt. Ist das so richtig?
Ich würde nie zwei Induktionen auf einmal machen. Da kommt man nahezu garantiert durcheinander.
> Wenn ich dann das m wie eine feste Zahl behandle entsteht
> bei mir das:
>
> I.-Behauptung: [mm]\summe_{i=1}^{m} \summe_{j=1}^{n+1}[/mm][mm] (i+j) = \bruch{(n+1)m((n+1)+m+2)}{2}[/mm]
>
> I.-Beweis:
> [mm]\bruch{n*m(n+m+2)}{2}+(m[/mm] + n+1)
>
> Geht das in die richtige Richtung? Ich weiss nun nur
> überhaupt nicht wie ich das zu meiner Induktionsbehauptung
> umformen soll.
Probier lieber den Weg, den ich oben beschrieben habe. Deiner hat Fallen, führt aber auch zum Ziel.
Grüße
reverend
|
|
|
|
