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| Aufgabe 1 | Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl lässt bei Division durch 8 den Rest 1
mit Formel a=q*b+r wird daraus
[mm] (2x-1)^2=q*8+1
[/mm]
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| Aufgabe 2 | Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] 3|(n^3-n) [/mm] |
Hallo,
ich soll gerade verschiedene Aufgaben mit vollständiger Induktion beweisen, bei den meisten hat das auch ganz gut geklappt, aber an diesen beiden hänge ich gerade wieder fest.
Bei Aufgabe 1 komme ich beim Induktionsanfang auf q=0 ist wahr.
damit ist dann die Induktionsbehauptung [mm] (2(x+1)-1)^2=8q+1
[/mm]
Damit habe ich dann angefangen zu beweisen:
[mm] (2(x+1)-1)^2= (2x+2-1)^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1=4x(x+1)+1
[/mm]
Aber damit komme ich jetzt nicht weiter, es sei denn, ich könnte jetzt x(x+1)=2q setzen...
Ähnliches Problem stellt sich mir bei Aufgabe 2:
[mm] 3|(n^3-n) [/mm] lässt sich umformulieren zu [mm] n^3-n=3p
[/mm]
Damit haben wir beim Induktionsanfang 0=p und die Induktionsbehauptung [mm] (n+1)^3-(n+1)=3q
[/mm]
Beim Beweis bin ich dann zu
[mm] (n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+2n [/mm] gekommen. Aber wie komme ich von da aus zu 3q?
Danke für eure Hilfe 
Liebe Grüße,
Lisa
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lisa,
Beim Idunktionsbeweis ist das wichtigste, sich irgendwie die Voraussetzung zu basteln:
IV: [mm] (2x-1)^2=8q+1
[/mm]
IS: [mm] (2(x+1)-1)^2=(2x+1)^2 [/mm] (jetzt könntest du schon aufhören, weil das ja schon ein alternativer Ausdruck für eine ungerade Zahl ist^^, aber es geht auch noch alternativ weiter) [mm] =4x^2+4x+1=4x^2-4x+1+8x=(2x-1)^2+8x [/mm] und jetzt kannst du argumentieren, der erste Summand bei der Division durch 8 nach Voraussetzung den Rest 1 hat, und der 2. Summand ist durch 8 teilbar (damit Rest Null).
So wie ich hier zuletzt argumentiert hab, kommst du auch bei Aufgabe 2 zum Ziel.
Am bessten nicht gleich alles Wegkürzen was geht, sondern vorher schauen, was du noch brauchen könntest.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 18.01.2009 | | Autor: | lisatschka |
Hallo Kai,
ich hab zwar noch einen Moment gebraucht, bis ich wirklich verstanden hatte, was du meintest, aber jetzt hab ich es hinbekommen. Danke für deine Hilfe!!!
Lieben Gruß,
Lisa
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