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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mi 11.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Beweisen mittels vollständiger Induktion:
1.) [mm] \produkt_{i=1}^{n} (2\*i-1) [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!}{2^n*n!} [/mm] ; für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
2.) [mm] 6|(2^n+3^n-5^n) [/mm] ; für jedes n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo Leute,
gehe gerade ein paar Induktionsbeweise durch und bin bei diesen zwei nicht weiter gekommen. Ich komme am Schluss nicht auf den nötigen Schritt, der die Folgerung zeigt. Zum besseren Verständnis schreibe ich mal den Induktionsschluss auf, den ich soweit habe.
1.) IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \produkt_{i=1}^{n} (2\*(i+1)-1) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} (2\*i-1) \* (2\*(n+1)-1) [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!}{2^n*n!} \*(2n+1) [/mm] (Nach I.V.)
Und hier ist nun das Problem. Einfach zu behaupten, dass die Umformung,
[mm] \bruch{(2n)!\*(2n+1)}{2^n*n!} [/mm] = [mm] \bruch{(2n+2)!}{2^{n+1}*(n+1)!} [/mm]
trivial sei, kann ich nicht sehen. Ich weiß, dass (2n)! die Fakultät der 2er Reihe ist. Wie kann ich aber eine passende Umformung finden?
2.) IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (2^{n+1}+3^{n+1}-5^{n+1}) [/mm] = [mm] 2\*2^n+3\*3^n-5\*5^n [/mm] = [mm] 2(2^n+3^n-5^n)+3^n-3\*5^n [/mm]
Auch hier komme ich leider nicht auf den nötigen Ansatz am Ende. Zwar weiß ich, dass nach I.V. der Summand [mm] 2(2^n+3^n-5^n) [/mm] durch 6 teilbar ist, doch die anderen beiden sind es ja offensichtlich nicht. Wie kann man also die letzte Summe noch anpassen, dass man das sehen kann?
Ich danke schon einmal im Vorraus.
VG
Ardbeg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen mittels vollständiger Induktion:
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> 1.) [mm]\produkt_{i=1}^{n} (2\*i-1)[/mm] = [mm]\bruch{(2n)!}{2^n*n!}[/mm] ;
> für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
>
> 2.) [mm]6|(2^n+3^n-5^n)[/mm] ; für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
> Hallo Leute,
>
> gehe gerade ein paar Induktionsbeweise durch und bin bei
> diesen zwei nicht weiter gekommen. Ich komme am Schluss
> nicht auf den nötigen Schritt, der die Folgerung zeigt.
> Zum besseren Verständnis schreibe ich mal den
> Induktionsschluss auf, den ich soweit habe.
>
> 1.) IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} (2\*(i+1)-1)[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} (2\*i-1) \* (2\*(n+1)-1)[/mm]
> = [mm]\bruch{(2n)!}{2^n*n!} \*(2n+1)[/mm] (Nach I.V.)
Diese Zeile sollte so beginnen: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} (2\*(i+1)-1)= [/mm] ......
>
> Und hier ist nun das Problem. Einfach zu behaupten, dass
> die Umformung,
>
> [mm]\bruch{(2n)!\*(2n+1)}{2^n*n!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2n+2)!}{2^{n+1}*(n+1)!}[/mm]
>
> trivial sei, kann ich nicht sehen. Ich weiß, dass (2n)!
> die Fakultät der 2er Reihe ist. Wie kann ich aber eine
> passende Umformung finden?
[mm] \bruch{(2n)!\*(2n+1)}{2^n*n!}=\bruch{(2n+1)!}{2^n*n!}=\bruch{(2n+1)!}{2^n*n!}*\bruch{2n+2}{2n+2}=\bruch{(2n+2)!}{2^n*n!*2*(n+1)}=\bruch{(2n+2)!}{2^{n+1}*(n+1)!}
[/mm]
>
> 2.) IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm](2^{n+1}+3^{n+1}-5^{n+1})[/mm] = [mm]2\*2^n+3\*3^n-5\*5^n[/mm] =
> [mm]2(2^n+3^n-5^n)+3^n-3\*5^n[/mm]
>
> Auch hier komme ich leider nicht auf den nötigen Ansatz am
> Ende. Zwar weiß ich, dass nach I.V. der Summand
> [mm]2(2^n+3^n-5^n)[/mm] durch 6 teilbar ist, doch die anderen beiden
> sind es ja offensichtlich nicht. Wie kann man also die
> letzte Summe noch anpassen, dass man das sehen kann?
Zeige mit einem weiteren (kleinen) Induktionsbeweis:
[mm] 3^n-3\*5^n [/mm] ist durch 6 teilbar
FRED
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> Ich danke schon einmal im Vorraus.
>
> VG
> Ardbeg
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Mi 11.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Okay, danke für die schnelle Antwort. Und stimmt, habe hier beim Eintippen das n+1 vergessen dort einzutragen. Das habe ich bei der Auflösung des Produkts beachtet, doch weiß ich eben nicht, auf welcher Grundlage der Schluss dann zum gewünschten Ergebnis führt. Mache mir darüber aber noch einmal Gedanken.
Bei der 2. ist der Tipp sehr hilfreich. Mache mich direkt mal daran, dass ich das dann zeige.
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 11.05.2016 | | Autor: | Chris84 |
> > Beweisen mittels vollständiger Induktion:
> >
> > 1.) [mm]\produkt_{i=1}^{n} (2\*i-1)[/mm] = [mm]\bruch{(2n)!}{2^n*n!}[/mm] ;
> > für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > 2.) [mm]6|(2^n+3^n-5^n)[/mm] ; für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
> > Hallo
> Leute,
> >
> > gehe gerade ein paar Induktionsbeweise durch und bin bei
> > diesen zwei nicht weiter gekommen. Ich komme am Schluss
> > nicht auf den nötigen Schritt, der die Folgerung zeigt.
> > Zum besseren Verständnis schreibe ich mal den
> > Induktionsschluss auf, den ich soweit habe.
> >
> > 1.) IS: n [mm]\to[/mm] n+1
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n} (2\*(i+1)-1)[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} (2\*i-1) \* (2\*(n+1)-1)[/mm]
> > = [mm]\bruch{(2n)!}{2^n*n!} \*(2n+1)[/mm] (Nach I.V.)
>
> Diese Zeile sollte so beginnen: [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (2\*(i+1)-1)=[/mm]
Ich kann mich irren, aber muss es nicht
[mm] $\produkt_{i=1}^{n+1} (2\*i-1)$
[/mm]
lauten!?
> ......
>
>
> >
> > Und hier ist nun das Problem. Einfach zu behaupten, dass
> > die Umformung,
> >
> > [mm]\bruch{(2n)!\*(2n+1)}{2^n*n!}[/mm] =
> > [mm]\bruch{(2n+2)!}{2^{n+1}*(n+1)!}[/mm]
> >
> > trivial sei, kann ich nicht sehen. Ich weiß, dass (2n)!
> > die Fakultät der 2er Reihe ist. Wie kann ich aber eine
> > passende Umformung finden?
>
> [mm]\bruch{(2n)!\*(2n+1)}{2^n*n!}=\bruch{(2n+1)!}{2^n*n!}=\bruch{(2n+1)!}{2^n*n!}*\bruch{2n+2}{2n+2}=\bruch{(2n+2)!}{2^n*n!*2*(n+1)}=\bruch{(2n+2)!}{2^{n+1}*(n+1)!}[/mm]
>
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> >
> > 2.) IS: n [mm]\to[/mm] n+1
> >
> > [mm](2^{n+1}+3^{n+1}-5^{n+1})[/mm] = [mm]2\*2^n+3\*3^n-5\*5^n[/mm] =
> > [mm]2(2^n+3^n-5^n)+3^n-3\*5^n[/mm]
> >
> > Auch hier komme ich leider nicht auf den nötigen Ansatz am
> > Ende. Zwar weiß ich, dass nach I.V. der Summand
> > [mm]2(2^n+3^n-5^n)[/mm] durch 6 teilbar ist, doch die anderen beiden
> > sind es ja offensichtlich nicht. Wie kann man also die
> > letzte Summe noch anpassen, dass man das sehen kann?
>
> Zeige mit einem weiteren (kleinen) Induktionsbeweis:
>
> [mm]3^n-3\*5^n[/mm] ist durch 6 teilbar
>
> FRED
> >
> > Ich danke schon einmal im Vorraus.
> >
> > VG
> > Ardbeg
> >
> >
> > Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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Hallo,
so ist es, aber i=0
Steffi
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