Induktionsbeweise? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 So 06.11.2005 | | Autor: | AriR |
Habe die frage in keinem anderen forum gestellt!
Hey Leute habe hier ne aufgabe, wo ich überhaupt nicht weiterkomme.
[mm] x\ge0 [/mm] und [mm] n\ge4 [/mm] , [mm] n\IN [/mm] Zeigen sie:
[mm] (1+x)^{n} \ge \bruch{n²}{2} [/mm] * x²
habe mir gedacht durch vollst. Induktion, aber da bekomme ich nichtmal den induktionsanfang hin. und noch eine frage: es ist doch egal ob ich über n oder x die induktion durch führe oder? solange man den beweis hinbekommt ist die behauptung doch bewiesen oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 So 06.11.2005 | | Autor: | tom.bg |
> Habe die frage in keinem anderen forum gestellt!
>
> Hey Leute habe hier ne aufgabe, wo ich überhaupt nicht
> weiterkomme.
>
> [mm]x\ge0[/mm] und [mm]n\ge4[/mm] , [mm]n\IN[/mm] Zeigen sie:
>
> [mm](1+x)^{n} \ge \bruch{n²}{2}[/mm] * x²
>
> habe mir gedacht durch vollst. Induktion, aber da bekomme
> ich nichtmal den induktionsanfang hin. und noch eine frage:
> es ist doch egal ob ich über n oder x die induktion durch
> führe oder? solange man den beweis hinbekommt ist die
> behauptung doch bewiesen oder?
hallo
ich denke schneller ist mit Binomischen Lehrsatz
[mm] (1+x)^{n}= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}1^{n-k} \*x^{k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}1^{n-k} \*x^{k} \ge \bruch{n²}{2} \* [/mm] x²
dazu die Summanden schreibweise des binomischen lehrsatzes nehmen
[mm] \vektor{n \\ 0} 1^{n} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * [mm] 1^{n-1} [/mm] * x + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] 1^{n-2} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] * [mm] x^{n} [/mm]
weiter soll schon leichter gehen muss du nur merken dass die sumanden grösser als [mm] \bruch{n²}{2} \*x² [/mm] sind
|
|
|
| |
|
Hallo Ari,
vielleicht noch ein paar Worte zur Induktion. Die kannst du nur anwenden, wenn x und n wirklich natürliche Zahlen und das stimmt hier sicher nicht, denn das will diese Ungleichung ja gerade nicht.
Also Induktion wird nur bei der mathematischen Einführung von [mm] \IN [/mm] verwendet und bei keinem anderen Zahlbereich, weil bei [mm] \IR [/mm] insbesondere überhaupt nicht klar ist, was ein Nachfolger ist.
Die Antwort mit dem binomischen Lehrsatz ist richtiger.
VG mathmetzsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 06.11.2005 | | Autor: | AriR |
ok das ist sicher ein besserer ansatz als meiner, aber ehrlich gesagt habe ich auch kein plan, wie ich beweisen kann, dass die summanden auch immer größer sind +g+
|
|
|
| |
|
Hallo AriR,
Diese Summanden hier
[mm] \vektor{n \\ 0} 1^{n} + \vektor{n \\ 1} * 1^{n-1} * x + \vektor{n \\ 2} * 1^{n-2} * x^{2} + \vektor{n \\ n} * x^{n} [/mm]
sind zunächstmal alle größer Null d.h du kannst ein paar weglassen und das ganze wird kleiner. Betrachte also die ersten 4.
Noch ein Tipp eine Fallunterscheidung ist vermutlich auch nötig:
Für x<1 ist [mm] x>x^2
[/mm]
Für x>1 ist [mm] x^2
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe da vorhin etwas unüberlegt geantwortet. Du kannst natürlich die Induktion über n machen, da n ja natürlich ist. Die Induktion über x wäre allerdings nicht möglich. Deine Ungelichung ähnelt etwas der Bernoulli'schen Ungleichung.
Diesen Beweis findest du ![[]](/images/popup.gif) hier.
Vielleicht kriegst du da ein paar Anregungen. Um genau zu sein, ist der Beweis ganz ähnlich.
VG mathmetzsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 06.11.2005 | | Autor: | AriR |
ehrlich gesagt komme ich immer noch nicht weiter.. habe jetzt probiert mit der Bernoullische Ungleichung aber dafür ist der teil der kleiner ist als [mm] (x+1^{n} [/mm] bei mir viel zu verschieden als der bei der Bernoullische Ungleichung. kann mir keiner helfen :'( ich muss das morgen abgeben
|
|
|
| |
|
Hallo AriR,
Nur über die Bernoulli Ungleichung funktioniert imho nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
