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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweis in Ungleichun
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Induktionsbeweis in Ungleichun: Letzter Schritt gesucht
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:40 So 11.11.2007
Autor: Physiker

Aufgabe
i) Zeigen sie:

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^n \ge [/mm] 2$    für alle [mm] $n\in \IN \setminus {\emptyset}$ [/mm]

ii) Beweisen sie:

$n! [mm] \le (\bruch{n+1}{2})^n$ [/mm]   für alle [mm] $n\in \IN \setminus {\emptyset}$ [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Beides soll durch Induktion gezeigt werden. Ich komme recht weit, hänge dann aber immer an der Abschätzung (habe aber auch wenig Erfahrung mit Ungleichungen und Induktion...) Kann mir bitte jemand diese beiden Ungleichungen induzieren?

Dann könnte ich das einmal komplett nachvollziehen.

zu i) ist mein Ansatz:

Induktions Anfang:  $n=1$

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^n \ge [/mm] 2$

[mm] $\gdw (1+\bruch{1}{1})^1 \ge [/mm] 2$
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \ge [/mm] 2$

Stimmt.

Induktionsschritt $n+1$

[mm] $(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} \ge [/mm] 2$

[mm] $\gdw (1+\bruch{1}{n+1})^n \* (1+\bruch{1}{n+1}) \ge [/mm] 2 $

[mm] $\gdw (\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{1}{n+1})^n \* (\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{1}{n+1}) \ge [/mm] 2 $

[mm] $\gdw (\bruch{n+2}{n+1})^n \* (\bruch{n+2}{n+1}) \ge [/mm] 2 $

so, und hier hakts. Ich weiß nicht weiter... Muss ich dann abschätzen? Habe ich mich in eine falsche Richtung verrannt?


zu ii)

Induktionsanfang $n=1$

$1! [mm] \le (\bruch{1+1}{2})^1$ [/mm]

[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1$

Stimmt!

Induktionsschritt $n+1$

$(n+1)! [mm] \le (\bruch{(n+1)+1}{2})^{n+1}$ [/mm]

$n! * (n+1) [mm] \le (\bruch{n+2}{2})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n+2}{2})$ [/mm]

Tja und hier wieder... wie weiter?

        
Bezug
Induktionsbeweis in Ungleichun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:47 So 11.11.2007
Autor: angela.h.b.


> Zeigen sie:
>  
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n \ge[/mm] 2    für alle [mm]n\in \IN \setminus {\emptyset}[/mm]
>  
> Beweisen sie:
>  
> n! [mm]\le (\bruch{n+1}{2})^n[/mm]   für alle [mm]n\in \IN \setminus {\emptyset}[/mm]
>  

> Beides soll durch Induktion gezeigt werden. Ich komme recht
> weit, hänge dann aber immer an der Abschätzung (habe aber
> auch wenig Erfahrung mit Ungleichungen und Induktion...)
> Kann mir bitte jemand diese beiden Ungleichungen
> induzieren?

Hallo,

das läuft bei uns etwas anders...

Du bist recht neu bei uns, lies Dir daher einmal die Forenregeln durch mit besonderem Augenmerk auf dem Passus über eigene Lösungsansätze.

Ich schlage Dir vor, daß Du hier mal vorrechnest, was Du jeweils getan hast.
Dann kann man schauen, ob Du gravierende Fehler machst, oder ob nur ein kleiner Kick bei Umformungen oder Abschätzungen fehlt.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis in Ungleichun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 So 11.11.2007
Autor: Physiker

oki, dann TeXe ich meine Lösungsansätze gleich mal ein. Bis später.

Bezug
        
Bezug
Induktionsbeweis in Ungleichun: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Di 13.11.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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