Induktionsbeweis einer Ungleic < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Mo 05.11.2007 | | Autor: | silencio |
| Aufgabe | | Für welche [mm] n\in\IN [/mm] gilt die Ungleichung: [mm] n!\le(n/2)^n [/mm] |
Ich weiß es gilt [mm] \forall n\ge6.
[/mm]
Der Induktionsanfang ist natürlich kein problem: n=6: [mm] 6!=720\le729=(6/2)^6
[/mm]
Den Anfang des Induktionsschrittes hab ich auch noch: n [mm] \mapsto [/mm] n+1:
[mm] (n+1)!\le((n+1)/2)^{n+1} [/mm]
[mm] \gdw n!(n+1)\le((n+1)/2)^n*((n+1)/2) [/mm] | /(n+1)
[mm] \gdw n!\le((n+1)/2)^n*1/2
[/mm]
Weiter komm ich nicht. Ich denk, dass ich schon fast fertig bin, mir aber noch der letzte schritt fehlt.
Ich weiß ja laut der Induktionsvoraussetzung ist [mm] n!\le(n/2)^n [/mm] also auch [mm] n!\le((n+1)/2)^n. [/mm] Mein Problem ist jetzt halt der Faktor 1/2, von dem ich nicht weiß, wie ich ihn in der Ungleichung behandeln soll, da er ja die rechte Seite kleiner macht. Das die Ungleichung [mm] \forall n\ge6 [/mm] gilt, weiß ich, nur auf den letzten Beweisschritt komm ich nicht.
Vielen Dank schonmal im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo silencio,
> Für welche [mm]n\in\IN[/mm] gilt die Ungleichung: [mm]n!\le(n/2)^n[/mm]
> Ich weiß es gilt [mm]\forall n\ge6.[/mm]
> Der Induktionsanfang ist
> natürlich kein problem: n=6: [mm]6!=720\le729=(6/2)^6[/mm]
> Den Anfang des Induktionsschrittes hab ich auch noch: n
> [mm]\mapsto[/mm] n+1:
>
> [mm](n+1)!\le((n+1)/2)^{n+1}[/mm]
jo, das ist zu zeigen, nimm dir die linke Seite her und bastel die rechte Seite mit Hilfe der Indukt.vor. hin:
> [mm]\gdw n!(n+1)\le((n+1)/2)^n*((n+1)/2)[/mm] | /(n+1)
>
> [mm]\gdw n!\le((n+1)/2)^n*1/2[/mm]
Du hast ein bisschen das Pferd von hinten aufgezäumt...
> Weiter komm ich nicht. Ich denk, dass ich schon fast fertig
> bin, mir aber noch der letzte schritt fehlt.
> Ich weiß ja laut der Induktionsvoraussetzung ist
> [mm]n!\le(n/2)^n[/mm] also auch [mm]n!\le((n+1)/2)^n.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ja das ist ein guter Punkt!!
> Mein Problem ist
> jetzt halt der Faktor 1/2, von dem ich nicht weiß, wie ich
> ihn in der Ungleichung behandeln soll, da er ja die rechte
> Seite kleiner macht. Das die Ungleichung [mm]\forall n\ge6[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gilt, weiß ich, nur auf den letzten Beweisschritt komm ich
> nicht.
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus
Also $(n+1)!=\red{n!}\cdot{}(n+1)\le \red{\left(\frac{n}{2}\right)^n}\cdot}(n+1)$ nach Induktionsvoraussetzung
$\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^n\cdot{}(n+1)$ das war ein guter Punkt von dir !!
Nun das nur noch verarbeiten....
Dann steht's schon da 
LG
schachuzipus
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Halt Stopp,
das war Quatsch, dann steht da [mm] $\frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}$
[/mm]
Also Kommando zurück!!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
ich denk besser nochmal nach, pardon
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Mo 05.11.2007 | | Autor: | silencio |
ich hab mich schon gewundert, ob ich jetzt völlig bescheurt bin und das nicht verstehe
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Hallo nochmal,
hab's - glaube ich - ausgebügelt
Also [mm] $(n+1)!=n!(n+1)\le \left(\frac{n}{2}\right)^n\cdot{}(n+1)=\left(\frac{n}{2}\right)^n\cdot{}\frac{2(n+1)}{2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n^n}{2^{n+1}}\cdot{}2(n+1)=\frac{\blue{2\cdot{}n^n}}{2^{n+1}}\cdot{}(n+1)\red{\le}\frac{\ \blue{(n+1)^n}}{2^{n+1}}\cdot{}(n+1) =\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Es bleibt das rote [mm] $\red{\le}$ [/mm] zu begründen
Also warum gilt [mm] $2\cdot{}n^n\le (n+1)^n$ [/mm] ??
Schreib mal [mm] $(n+1)^n$ [/mm] nach dem binomischen Lehrsatz hin:
[mm] $(n+1)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\pmat{n\\k}\cdot{}n^{n-k}=n^n+n\cdot{}n^{n-1}+....+1>2\cdot{}n^n$
[/mm]
In der Summe ist ja jeder Summand positiv und die ersten beiden Summanden ergeben schon [mm] $2\cdot{}n^n$
[/mm]
Puh, hoffe ich hab's wieder gutgemacht
LG
schachuzipus
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:20 Di 06.11.2007 | | Autor: | silencio |
Ich denke das sieht so ganz gut aus.
ich kann alle schritte nachvollziehen und die umformungen passen auch alle.
vielen dank
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