Induktionsbeweis Ungleichungen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 17.10.2010 | | Autor: | thairu |
| Aufgabe | | Für welche natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung [mm] 2^n-5>n^2 [/mm] ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe gerade mein Mathematik-Studium begonnen, und schon habe ich mit den ersten Übungsaufgaben der Analysis meine Schwierigkeiten. Derzeit bin ich an oben genannter Aufgabe dran.
Mir ist klar, dass der Induktionsanfang bei n=5 gemacht wird. Als Induktionsvoraussetzung habe ich dann formuliert:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN \ge [/mm] 5 gilt: [mm] 2^{n} [/mm] -5 > [mm] n^2.
[/mm]
Was mir nun Schwierigkeiten bereitet ist der Induktionsschritt, oder vielmehr, die Induktionsvoraussetzung in den Induktionsschritt mit einzubeziehen.
Mein Ansatz:
[mm] 2^{n+1}-5 [/mm] > [mm] (n+1)^2 \gdw 2*2^{n}-5 [/mm] > [mm] n^2+2n+1
[/mm]
Aber wie geht es nun weiter?
Das Prinzip der Induktion habe ich verstanden, bislang aber nur an Summenformeln angewandt, hier hapert es irgendwie an der Umsetzung, bitte um Hinweise.
Gruß
thairu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 So 17.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst ja nachher zeigen, dass
[mm] 2^{n+\red{1}}-5>(n\red{+1})
[/mm]
Fang mal vorne an:
[mm] 2^{n+\red{1}}-5
[/mm]
[mm] =2^{n}*2^{1}-5
[/mm]
[mm] =2*2^{n}-5
[/mm]
[mm] =2*\left(2^{n}-\bruch{5}{2}\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(2^{n}-\bruch{5}{2}+\bruch{5}{2}-\bruch{5}{2}\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(2^{n}-5-\bruch{5}{2}\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(2^{n}-5\right)-2*\bruch{5}{2}
[/mm]
Auf den ersten Teil kannst du nun die Induktionsvoraussetzung anwenden, so dass da steht:
[mm] =2*\left(2^{n}-5\right)-2*\bruch{5}{2}>=2*(n^{2})-2*\bruch{5}{2}
[/mm]
Du musst jetzt also noch zeigen, dass
[mm] 2n^{2}-2*\bruch{5}{2}>n^{2}+2n+1=(n+1)^{2} [/mm] für n>5
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 So 17.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Dir scheint das Quadrat auf der rechten Seite der Ungleichung entgangen zu sein. 
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 17.10.2010 | | Autor: | thairu |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Was mich im Moment sehr irritiert ist dein Schritt von
[mm] =2*\left(2^{n}-\bruch{5}{2}+\bruch{5}{2}-\bruch{5}{2}\right)
[/mm]
auf:
[mm] =2*\left(2^{n}-5-\bruch{5}{2}\right) [/mm]
Müsste es dann nicht eigentlich heißen::
[mm] =2*\left(2^{n}-\bruch{5}{2}+\bruch{5}{2}-\bruch{5}{2}\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(2^{n}-5+\bruch{5}{2}\right) [/mm] ?
Entschuldige, ich brauche für manche Sachen etwas länger, Analysis war immer schon meine Schwäche ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 17.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast Recht, am Ende sollte dort [mm] +\bruch{5}{2} [/mm] stehen.
Dieser Trick, eine "Nahrhafte Null" zu addieren, kommt aber öfter mal vor, so das man diesen im Hinterkopf abspeichern sollte.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 So 17.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo thairu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Es gilt ruch zweimalige Anwendung der Induktionsvoraussetzung:
[mm]2^{n+1}-5 \ = \ 2*2^n-5 \ = \ 2^n +\ \red{2^n-5} \ \red{>} \ \blue{2^n} \ + \ \red{n^2} \ \blue{>} \ \blue{n^2-5} \ +n^2[/mm]
Und für welche [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt nun: [mm] $n^2-5 [/mm] \ > \ 2n+1$ ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 So 17.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für welche natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung
> [mm]2^n-5>n^2[/mm] ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich habe gerade mein Mathematik-Studium begonnen, und schon
> habe ich mit den ersten Übungsaufgaben der Analysis meine
> Schwierigkeiten. Derzeit bin ich an oben genannter Aufgabe
> dran.
> Mir ist klar, dass der Induktionsanfang bei n=5 gemacht
> wird. Als Induktionsvoraussetzung habe ich dann
> formuliert:
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN \ge[/mm] 5 gilt: [mm]2^{n}[/mm] -5 > [mm]n^2.[/mm]
> Was mir nun Schwierigkeiten bereitet ist der
> Induktionsschritt, oder vielmehr, die
> Induktionsvoraussetzung in den Induktionsschritt mit
> einzubeziehen.
> Mein Ansatz:
> [mm]2^{n+1}-5[/mm] > [mm](n+1)^2 \gdw 2*2^{n}-5[/mm] > [mm]n^2+2n+1[/mm]
> Aber wie geht es nun weiter?
> Das Prinzip der Induktion habe ich verstanden,
Da hab ich meine Zweifel .................
Du schreibst oben:
"Als Induktionsvoraussetzung habe ich dann formuliert:
[mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN \ge[/mm] 5 gilt: [mm]2^{n}[/mm] -5 > [mm]n^2.[/mm]"
Wenn Du das voraussetzt, so hast Du doch nix, aber gar nix, mehr zu zeigen !!!
Also, wie lautet die IV korrekt ?
FRED
> bislang
> aber nur an Summenformeln angewandt, hier hapert es
> irgendwie an der Umsetzung, bitte um Hinweise.
>
> Gruß
> thairu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 So 17.10.2010 | | Autor: | thairu |
Das ist wahr. Dann wäre meine Induktionsvoraussetzung schon das:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] 2^{n+1} [/mm] - 5 = [mm] (n+1)^{2} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 So 17.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das ist wahr. Dann wäre meine Induktionsvoraussetzung
> schon das:
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]2^{n+1}[/mm] - 5 = [mm](n+1)^{2}[/mm] ?
Nein !
IV.: für ein n [mm] \ge [/mm] 5 sei: $ [mm] 2^{n} [/mm] $ -5 > $ [mm] n^2. [/mm] $
FRED
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