Induktionsbeweis Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mo 12.11.2007 | | Autor: | mai |
Hallo Ihr Lieben!
Hier mein Problem:
Aufgabe:
Beweise mittels vollst. Induktion:
[mm] e*(\bruch{n}{e})^{n} \le [/mm] n!
Soweit ohne Probleme:
Ind.Anfang:
Für n = 1 gilt: [mm] e*(\bruch{1}{e})^{1} \le [/mm] 1!
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1
Ind.Annahme:
Für n gelte: [mm] e*(\bruch{n}{e})^{n} \le [/mm] n!
Ind.Behauptung:
Für n+1 gilt dann [mm] e*(\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le [/mm] (n+1)!
Jetzt haperts:
Ind.Beweis:
[mm] e*(\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le [/mm] (n+1)!
[mm] \gdw e*(\bruch{n+1}{e})^{n}*(\bruch{n+1}{e})^{1} \le [/mm] n!*(n+1)
Nun weiß ich nicht weiter! :-( Kann
mir jemand bitte helfen?
Vielen Dank! mai
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> Hallo Ihr Lieben!
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> Hier mein Problem:
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> Aufgabe:
> Beweise mittels vollst. Induktion:
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> [mm]e*(\bruch{n}{e})^{n} \le[/mm] n!
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> Soweit ohne Probleme:
>
> Ind.Anfang:
>
> Für n = 1 gilt: [mm]e*(\bruch{1}{e})^{1} \le[/mm] 1!
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le[/mm] 1
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> Ind.Annahme:
>
> Für n gelte: [mm]e*(\bruch{n}{e})^{n} \le[/mm] n!
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> Ind.Behauptung:
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> Für n+1 gilt dann [mm]e*(\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le[/mm] (n+1)!
>
> Jetzt haperts:
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> Ind.Beweis:
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> [mm]e*(\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le[/mm] (n+1)!
> [mm]\gdw e*(\bruch{n+1}{e})^{n}*(\bruch{n+1}{e})^{1} \le[/mm]
> n!*(n+1)
Hallo,
diese äquivalente Umformerei ist oft schon nicht sehr geschickt, wenn man per Induktion Gleichungen zeigen will.
Bei Ungleichungen führt Dich das in eine Sackgasse, denn Du mußt hier i.d.R. unterwegs abschätzen.
Beginn mit dr einen Seite der zu zeigenden Aussage, forme sie korrekt um, so daß Du am Ende die andere Seite dastehen hast.
Also eine Gleichungs- bzw. Ungleichungskette.
Hier starte mit [mm] e*(\bruch{n+1}{e})^{n+1}=...\le... [/mm] =.... .... =(n+1)!
Versuche Dein Glaück auf diese Weise nochmal, das, was Du bisher so gemacht hast, sieht ja nicht schlecht aus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 12.11.2007 | | Autor: | mai |
Ich kann keinen Term aufstellen, der
größer ist und gleichzeitig (n+1)!
annähert, kann mir jemand bitte helfen?
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> Ich kann keinen Term aufstellen, der
> größer ist und gleichzeitig (n+1)!
> annähert, kann mir jemand bitte helfen?
Hallo,
Du hattest doch schon recht gut angefangen in Deinem Eingangspost:
Du weißt doch, daß
[mm] e\cdot{}(\bruch{n+1}{e})^{n+1}=e\cdot{}(\bruch{n+1}{e})^{n}\cdot{}(\bruch{n+1}{e})^{1} \le [/mm] ...
nun überlege Dir, daß ---- ah, jetzt sehe ich das Problem...
[mm] ...=(\bruch{n+1}{e})^{n}\cdot{}(n+1)=(\bruch{n}{e})^{n}(\bruch{n+1}{n})^{n}\cdot{}(n+1) \le...
[/mm]
Jetzt kannst Du die Induktionsvoraussetzung verwenden, und außerdem mußt Du darüber nachdenken, wodurch [mm] (\bruch{n+1}{n})^{n} [/mm] nach oben beschränkt ist - das hattet Ihr gewiß in der Vorlesung.
Gruß v. Angela
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