Induktionsbeweis Produktformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
| Aufgabe | Sei a [mm] \not= [/mm] 1 eine reelle Zahl. Zeige durch vollständige Induktion:
[mm] \produkt_{k=0}^{n}(1+a^{2^{k}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1}}}{1-a} [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe folgendermaßen gerechnet habe jedoch im Induktionsanfang eine Unstimmigkeit, denn 1+a [mm] \not= [/mm] 1-a und am Ende im Induktionsschluss, da habe ich im Exponenten zu viel drin. Kann mir da einer bitte weiterhelfen?
IA: [mm] \produkt_{k=0}^{0}(1+a^{2^{k}}) [/mm] = [mm] (1+a^{2^{0}}) [/mm] = 1+a [mm] \not= \bruch{1-a^{2^{0+1}}}{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2}}{1-a} [/mm] = 1-a
IS: [mm] \produkt_{k=0}^{n}(1+a^{2^{k}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1}}}{1-a} \Rightarrow
[/mm]
[mm] \produkt_{k=0}^{n+1}(1+a^{2^{k}}) [/mm] = [mm] \produkt_{k=0}^{n}(1+a^{2^{k}}) [/mm] * [mm] (1+a^{2^{k+1}}) \underbrace{=}_{IV} \bruch{1-a^{2^{n+1}}}{1-a} [/mm] * [mm] (1+a^{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] \bruch{(1-a^{2^{n+1}})*(1+a^{2^{n+1}})}{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{1 + a^{2^{n+1}} - a^{2^{n+1}} - a^{2^{n+2}}}{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{1 - a^{2^{2n+2}}}{1-a}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Di 01.03.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi!
Fangen wir mal mit dem Induktionsanfang an, da hast du schlicht falsch gerrechnet.
Wie kommst du denn auf [mm] \bruch{1-a^{2}}{1-a}=1-a?? [/mm] Das ist falsch nutze hier die dritte Binomische Formel dann kommst du auch auf 1+a!!
Auch beim Induktionsschluss hast du dich verrechnet!
Was ist denn [mm] a^{2^{n+1}}*a^{2^{n+1}}??
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
> Hi!
> Fangen wir mal mit dem Induktionsanfang an, da hast du
> schlicht falsch gerrechnet.
> Wie kommst du denn auf [mm]\bruch{1-a^{2}}{1-a}=1-a??[/mm] Das ist
> falsch nutze hier die dritte Binomische Formel dann kommst
> du auch auf 1+a!!
Du hast recht, jetzt wo du es sagst sehe ich es auch. Jetzt habe ich folgendes für den IA:
IA: [mm] \produkt_{k=0}^{0}(1+a^{2^{k}}) [/mm] = [mm] (1+a^{2^{0}}) [/mm] = 1+a = [mm] \bruch{1-a^{2^{0+1}}}{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2}}{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{(1-a)(1+a)}{1-a} [/mm] =1+a
> Auch beim Induktionsschluss hast du dich verrechnet!
> Was ist denn [mm]a^{2^{n+1}}*a^{2^{n+1}}??[/mm]
Ich würde sagen dann kommen wir doch auf:
... = [mm] \bruch{1 - a^{2^{n+2}}}{1-a}
[/mm]
mit den Potenzgesetz wissen wir, das [mm] a^x [/mm] * [mm] a^y [/mm] = [mm] a^{x+y} [/mm] ist, aber der Doppelexponent verwirrt mich, könntest du es mir vielleicht mal erklären wie man da mit den Doppelexponenten vorgeht?
>
> LG
>
>
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 01.03.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Piba!
> IA: [mm]\produkt_{k=0}^{0}(1+a^{2^{k}})[/mm] = [mm](1+a^{2^{0}})[/mm] = 1+a =
> [mm]\bruch{1-a^{2^{0+1}}}{1-a}[/mm] = [mm]\bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-a^{2}}{1-a}[/mm] = [mm]\bruch{(1-a)(1+a)}{1-a}[/mm] =1+a
Richtig.
> > Auch beim Induktionsschluss hast du dich verrechnet!
> > Was ist denn [mm]a^{2^{n+1}}*a^{2^{n+1}}??[/mm]
>
> Ich würde sagen dann kommen wir doch auf:
> ... = [mm]\bruch{1 - a^{2^{n+2}}}{1-a}[/mm]
Richtig.
> mit den Potenzgesetz
> wissen wir, das [mm]a^x[/mm] * [mm]a^y[/mm] = [mm]a^{x+y}[/mm] ist, aber der
> Doppelexponent verwirrt mich, könntest du es mir
> vielleicht mal erklären wie man da mit den
> Doppelexponenten vorgeht?
Es gilt
[mm] $a^{2^{n+1}}*a^{2^{n+1}}=a^{2^{n+1}+2^{n+1}}=a^{2*2^{n+1}}=a^{2^{n+2}}$.
[/mm]
Alternativ
[mm] $a^{2^{n+1}}*a^{2^{n+1}}=\left(a^{2^{n+1}}\right)^2=a^{2*2^{n+1}}=a^{2^{n+2}}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
Vielen Dank an alle für die Hilfe, jetzt habe ich es verstanden.
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