Induktionsbeweis Abschätzung < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Esta |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels Vollständiger Induktion folgende Ungleichung:
[mm] 2^n*n! \le (n+1)^n [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo zusammen! Meine Frage bezieht sich nicht auf das Induktionsprinzip an sich sondern auf eine Abschätzung innerhalb der Aufgabe welche mir einfach nicht einfallen will:
Induktionsanfang und -voraussetzung sind klar, weiter mit dem Induktionsschritt. Meine bisherigen Umformungen:
Induktionsschritt:
[mm] 2^{n+1}*(n+1)!
[/mm]
= [mm] 2^n*n!*2*(n+1)
[/mm]
[mm] \le (n+1)^n*2*(n+1) [/mm] gilt nach Induktionsvoraussetzung
= [mm] (n+1)^{n+1}*2
[/mm]
Nun weiss ich nicht mehr weiter wie ich abschätzen muss um auf [mm] \le (n+2)^{n+1} [/mm] zu kommen.
Also [mm] (n+1)^{n+1}*2 \le [/mm] [hier gekonnt schätzen] [mm] \le (n+2)^{n+1}
[/mm]
Habe schon wie wild umgeformt aber ich komme einfach nicht auf die nötige Abschätzung. Ich dachte auch schon an noch eine Induktion aber da stehe ich ja wieder von dem identischen Problem. Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 22.03.2009 | | Autor: | Esta |
Ja, Bernoulli hatte ich schon probiert da war die Abschätzung schon deutlich zu groß.
Inzwischen bin ich auf die Lösung gekommen über die ![[]](/images/popup.gif) Allgemeine Binomische Formel.
dann:
[mm] 2*(n+1)^{n+1} [/mm] = [mm] 2*\summe_{k=1}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}*n^{k}*1^{n+1-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}2*\vektor{n+1 \\ k}*n^{k}*1^{n+1-k} \le \summe_{k=1}^{n+1}1*\vektor{n+1 \\ k}*n^{k}*2^{n+1-k} [/mm] = [mm] (n+2)^{n+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 So 22.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ja, Bernoulli hatte ich schon probiert da war die
> Abschätzung schon deutlich zu groß.
Also mit Bernoulli genügt es zu zeigen, dass [mm] $2^nn!\ge 1+n^2$ [/mm] gilt. Induktionsschritt: [mm] $2^{n+1}(n+1)!\ge2(1+n^2)(n+1)\ge1+(n+1)^2$. [/mm] Wo ist das Problem?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Esta |
Sorry wenn ich aufm Schlauch stehe aber dann ist doch gezeigt:
1. [mm] (n+1)^n \ge 1+n^2 [/mm] nach Bernoulli sowieso.
2. [mm] 2^n*n! \ge 1+n^2 [/mm] nach der Induktion von Dir die ich auch versteh.
an welcher Stelle ist denn damit bewiesen, dass auch [mm] (n+1)^n \ge 2^n*n! [/mm] (Aufgabe) ist? Es könnte doch auch < sein und dennoch beide [mm] \ge 1+n^2.
[/mm]
Vielen Dank für deine Mühe und nochmals sorry wenn ich dümmer als erwartet bin:x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 23.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sorry wenn ich aufm Schlauch stehe aber dann ist doch
> gezeigt:
>
> 1. [mm](n+1)^n \ge 1+n^2[/mm] nach Bernoulli sowieso.
> 2. [mm]2^n*n! \ge 1+n^2[/mm] nach der Induktion von Dir die ich
> auch versteh.
>
> an welcher Stelle ist denn damit bewiesen, dass auch
> [mm](n+1)^n \ge 2^n*n![/mm] (Aufgabe) ist? Es könnte doch auch <
> sein und dennoch beide [mm]\ge 1+n^2.[/mm]
>
Mach dir mal klar, dass du hier in [mm] \IN [/mm] argumentierst. Aber was genau soll denn "< sein"?
> Vielen Dank für deine Mühe und nochmals sorry wenn ich
> dümmer als erwartet bin:x
Mach es dir doch einfacher:
Du hast, was ja vollkommen korrekt ist:
$ [mm] 2^{n+1}\cdot{}(n+1)! [/mm] $
= $ [mm] 2^n\cdot{}n!\cdot{}2\cdot{}(n+1) [/mm] $
$ [mm] \le (n+1)^n\cdot{}2\cdot{}(n+1) [/mm] $ gilt nach Induktionsvoraussetzung
= $ [mm] (n+1)^{n+1}\cdot{}2 [/mm] $
Und jetzt gilt für alle [mm] n\in\IN [/mm] offensichtlich: [mm] n+1\ge2
[/mm]
Und, da [mm] (n+1)^{n+1}>0, [/mm] gilt:
[mm] (n+1)^{n+1}2
[/mm]
[mm] \le(n+1)^{n+1}*(n+1)
[/mm]
[mm] =(n+1)^{n+2}
[/mm]
Und darauf wolltest du doch kommen, oder?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mo 23.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm](n+1)^{n+1}2[/mm]
> [mm]\le(n+1)^{n+1}*(n+1)[/mm]
> [mm]=(n+1)^{n+2}[/mm]
>
> Und darauf wolltest du doch kommen, oder?
Nee, was er braucht ist [mm] $2^{n+1}(n+1)!\le(n+2)^{n+1}$. [/mm] Aber fast hätt's keiner bemekrt 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > [mm](n+1)^{n+1}2[/mm]
> > [mm]\le(n+1)^{n+1}*(n+1)[/mm]
> > [mm]=(n+1)^{n+2}[/mm]
> >
> > Und darauf wolltest du doch kommen, oder?
> Nee, was er braucht ist [mm]2^{n+1}(n+1)!\le(n+2)^{n+1}[/mm]. Aber
> fast hätt's keiner bemekrt
Ich schon (vor mehr als 3 Stunden)
FRED
>
> Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 23.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sorry wenn ich aufm Schlauch stehe aber dann ist doch
> gezeigt:
>
> 1. [mm](n+1)^n \ge 1+n^2[/mm] nach Bernoulli sowieso.
> 2. [mm]2^n*n! \ge 1+n^2[/mm] nach der Induktion von Dir die ich
> auch versteh.
>
> an welcher Stelle ist denn damit bewiesen, dass auch
> [mm](n+1)^n \ge 2^n*n![/mm] (Aufgabe) ist? Es könnte doch auch <
> sein und dennoch beide [mm]\ge 1+n^2.[/mm]
Da hast du wohl recht, mein Beweis ist falsch. Ich hätte zeigen müssen, dass [mm] $2^nn!\le 1+n^2$ [/mm] ist, aber das ist ja schon für n=2 falsch
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Was Du noch benötigst ist:
(*) [mm] 2n^n \le (n+1)^n [/mm] für jedes n in [mm] \IN.
[/mm]
Die Bernoullische Ungleichung liefert:
[mm] (\bruch{n+1}{n})^n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^n \ge (1+n\bruch{1}{n}) [/mm] = 2 (n [mm] \in \IN).
[/mm]
Daraus folgt (*)
FRED
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