Induktionsbeweis 2er Aufgaben < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Zeigen Sie:
[mm]\summe_{k=1}^{m} (-1)^k*k^2 = (-1)^m * \vektor{m+1 \\ 2} (m \in \IN)[/mm] |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie:
[mm]\vektor{n \\ k} * \bruch {1}{n^k} \le \bruch {1}{k!} (k, n \in \IN, k \le n)[/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe hier Probleme mit 2 Aufgaben bei meinen Übungszettel. Bei der Aufgabe 1 weiß ich ab einen gewissen Schritt einfach nicht mehr weiter, was ich tun soll, um die Aufgabe weiterhin zu bearbeiten.
Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung klappen ohne Probleme, beim Induktionsschritt scheitere ich allerdings:
m [mm] \Rightarrow [/mm] m+1
[mm]\summe_{k=1}^{m+1} (-1)^k*k^2 = (-1)^{m+1} * \vektor{m+1+1 \\ 2}[/mm]
[mm]\underbrace{\summe_{k=1}^{m} (-1)^k*k^2}_{lt. Ind.Vor. gilt:} + (-1)^{m+1} * (m+1)^2 = (-1)^{m+1} * \vektor{m+2 \\ 2}[/mm]
[mm](-1)^{m} * \vektor{m+1 \\ 2} + (-1)^{m+1} * (m+1)^2 = (-1)^{m+1} * \vektor{m+2 \\ 2}[/mm]
[mm]\bruch{(-1)^{m} * (m+1)!}{2!*(m+1-2)!} + (-1)^{m+1} * (m+1)^2 = (-1)^{m+1} * \bruch{(m+2)!}{2!*(m+2-2)!}[/mm]
[mm]\bruch{(-1)^{m} * (m+1)!}{2!*(m-1)!} + (-1)^{m+1} * (m+1)^2 = \bruch{(-1)^{m+1}*(m+2)!}{2!*m!}[/mm]
Ab hier komme ich irgendwie nicht weiter. Ich habe bereits versucht, den 2. Summanden so zu erweitern, dass ich beide Summanden durch nur einen Bruch schreiben kann und anschließend das [mm] (-1)^m [/mm] ausmultipliziert, allerdings ist dort nach einigen Schritten auch wieder Schluss und so dachte ich, dass es wohl einen anderen Weg geben muss, den ich allerdings nicht alleine herausbekomme...
Bei der 2. Aufgabe ist eigentlich dasselbe Problem, allerdings bin ich hier bis zum Ende gekommen, bin mir aber (wegen der Ungleichung) unsicher, ob ich das so stehen lassen darf oder ob da noch was hinkommt oder ob es überhaupt richtig ist? Habe bei Ungleichungen echt keine Erfahrung und war mir da unsicher, ob ich überhaupt die Ind.Voraussetzung richtig angewendet hab?
Ich fange auch hier mit den Induktionsschritt an:
n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
[mm]\vektor{n+1 \\ k} * \bruch{1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!}[/mm]
[mm]\bruch {(n+1)!}{k!*(n+1-k)!} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!}[/mm]
[mm]\bruch {n!*(n+1)}{k!*(n+1-k)!} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!}[/mm]
[mm](n+1) * \bruch {n!}{k!*(n+1-k)!} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!}[/mm]
[mm](n+1) * \bruch {n!}{k!*(n-k)!*(n+1-k)} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!}[/mm]
[mm](n+1) * \bruch {1}{(n+1-k)} * \bruch {n!}{k!*(n-k)!} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!}[/mm]
Mit [mm]\bruch {1}{n^k}[/mm] erweitert:
[mm](n+1) * \bruch {1}{(n+1-k)} * \underbrace{\bruch {n!}{k!*(n-k)!} * \bruch {1}{n^k}}_{lt. Ind.Vor. gilt:} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!} * \bruch {1}{n^k}[/mm]
[mm](n+1) * \bruch {1}{(n+1-k)} * \bruch {1}{k!} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!} * \bruch {1}{n^k}[/mm]
[mm]\bruch {1}{k!}[/mm] mit [mm](n-k)![/mm] erweitert:
[mm](n+1) * \bruch {1}{(n+1-k)} * \bruch {(n-k)!}{k!*(n-k)!} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!} * \bruch {1}{n^k}[/mm]
[mm] \bruch {(n-k)!*(n+1)}{k!*(n-k)!(n+1-k)} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!} * \bruch {1}{n^k}[/mm]
[mm] \bruch {(n-k)!*(n+1)}{k!*(n+1-k)!} * \bruch {1}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!} * \bruch {1}{n^k}[/mm]
[mm] \bruch {(n-k)!}{k!*(n+1-k)!} * \bruch {(n+1)}{(n+1)^k} \le \bruch {1}{k!} * \bruch {1}{n^k}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andynator,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte stelle in Zukunft zwei unabhängige Aufgaben in zwei unabhängigen Threads. Das trägt doch sehr der Übersichtlichkeit zu, danke.
Schreibe den Binomialkoeffizient einfacher als:
[mm]\vektor{m+1 \\
2} \ = \ \bruch{(m+1)*m}{1*2} \ = \ \bruch{1}{2}*m*(m+1)[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Do 09.08.2012 | | Autor: | Andynator |
Oh alles klar, ich werds mir für weitere Fragen merken. War etwas verwirrt von der Formulierung her und dachte, da beides dasselbe Thema ist, könnte ich das ganze in einen Artikel schreiben.
Deine Idee war übrigens Goldwert, danach ging alles so schnell, ich hab dreimal nachkontrolliert ob ich nichts falsch gemacht hab :)
Danke für die Hilfestellung!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Aufgabe 2 würde ich nicht induktiv erledigen. Die Aussage ist gleichbedeutend mit
(*) [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} \le n^k.
[/mm]
(*) sieht man, wenn man die linke Seite ausschreibt und eifrig kürzt.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Do 09.08.2012 | | Autor: | Andynator |
Ja, hast recht.
Wenn ich das ganze einfach auflöse nach [mm]n^k[/mm] ist die Aufgabe echt in wenigen Zeilen gelöst und das auch noch vollkommen verständlich!
War wohl zu sehr geblendet davon, dass diese Übungsaufgabe zeitgleich mit der Vorstellung der Vollständigen Induktion kam.
Auch hier danke! :)
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