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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mi 07.11.2012 | | Autor: | iced |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige Induktion:
d) [mm] 6|(2^{n} [/mm] + [mm] 3^{n} [/mm] - [mm] 5^{n}) [/mm] für jede natürliche Zahl n. |
Hallo zusammen!
Die Beweise a) - c) habe ich nach einigem Nachdenken hinbekommen.
Bei Aufgabe d) will sich mir der Beweis aber nicht erschließen. Mir ist klar wie das funktioniert, aber ich komme auf keine formal korrekte Erklärung.
Könnt ihr mir helfen?
Viele Grüße
Pascal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige
> Induktion:
> d) [mm]6|(2^{n}[/mm] + [mm]3^{n}[/mm] - [mm]5^{n})[/mm] für jede natürliche Zahl
> n.
Hallo,
vielleicht hilft es Dir schon, wenn Du Dir folgendes klarmachst:
[mm] $6|(2^{n}$ [/mm] + [mm] $3^{n}$ [/mm] - [mm] $5^{n})$ [/mm] kann man übersetzen mit
"es gibt eine natürliche Zahl k, für welche gilt [mm] 2^{n}+3^{n}-5^{n}=6k".
[/mm]
Nun könntest Du Dein Glück mal versuchen.
Wenn's nicht klappt, zeig uns, was Du gertan hast.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mi 07.11.2012 | | Autor: | iced |
Hallo Angela,
danke schonmal für die Antwort. Aber leider komme ich damit nicht weiter, da mir bewusst war, dass es eine Zahl k geben muss, die das erfüllt. Ich komme nicht drauf, wie das gelöst werden soll. Vielleicht ist es offensichtlich, aber ich stehe ein wenig auf dem Schlauch :-D
Viele Grüße
Pascal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Mi 07.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige
> Induktion:
> d) [mm]6|(2^{n}[/mm] + [mm]3^{n}[/mm] - [mm]5^{n})[/mm] für jede natürliche Zahl
> n.
> Hallo zusammen!
>
> Die Beweise a) - c) habe ich nach einigem Nachdenken
> hinbekommen.
> Bei Aufgabe d) will sich mir der Beweis aber nicht
> erschließen. Mir ist klar wie das funktioniert, aber ich
> komme auf keine formal korrekte Erklärung.
> Könnt ihr mir helfen?
Für den Induktionsschritt:
[mm]2^{n+1}+3^{n+1}-5^{n+1}= 2*2^{n}+3*3^{n}-5*5^{n}=\red{2^{n}+3^{n}-5^{n}}+1*2^{n}+2*3^{n}-4*5^{n}[/mm]
Das Rote ist laut Ind.-Vorauss. durch 6 teilbar, den hinteren Teil kannst du nochmal so aufsplitten...
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße
>
> Pascal
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 07.11.2012 | | Autor: | iced |
Danke für die Antwort Abakus.
Die Antwort hat mir ein wenig weitergeholfen. Wenn man nun das Ganze nochmal Faktorisiert bekommt man:
[mm]3^{n}-3 * 5^{n}[/mm],
da nach noch Induktionsanfang der Rest durch 6 teilbar ist. Wie argumentiere ich nun, dass auch der obige Term durch 6 teilbar ist?
Viele Grüße
Pascal
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> Danke für die Antwort Abakus.
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> Die Antwort hat mir ein wenig weitergeholfen. Wenn man nun
> das Ganze nochmal Faktorisiert bekommt man:
>
> [mm]3^{n}-3 * 5^{n}[/mm],
>
> da nach noch Induktionsanfang der Rest durch 6 teilbar ist.
> Wie argumentiere ich nun, dass auch der obige Term durch 6
> teilbar ist?
Hallo,
überleg' Dir, daß er durch 2 und durch 3 teilbar ist.
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Pascal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 07.11.2012 | | Autor: | iced |
Wäre die Lösung dann:
Da [mm] 3^{n} [/mm] und [mm]3 * 5^{n}[/mm] jeweils immer Vielfach von 3 sind und die Differenz von zwei Vielfachen von 3 immernoch ein Vielfaches von 3 ist, ist [mm]3^{n} - 3 * 5^{n}[/mm] selbst Vielfaches von 3 bzw. duch 3 teilbar.
Da [mm] 3^{n} [/mm] und [mm]3 * 5^{n}[/mm] jeweils immer ungerade sind, sowie die Differenz zweier ungeraden Zahlen immer gerade ist, muss [mm]3^{n} - 3 * 5^{n}[/mm] gerade sein und somit durch 2 teilbar.
Weil [mm]3^{n} - 3 * 5^{n}[/mm] durch 3 und duch 2 teilbar ist, ist es auch durch 6 teilbar.
? Bzw. ist das Ganze formal genug für einen Beweis?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 07.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du das insgesamt ordentlich aufschreibst ist es o.k
etwas kürzer ist $ [mm] 3^{n} [/mm] - 3 [mm] \cdot{} 5^{n}=3*(...) [/mm] $
und differenz ungerader Zahlen ist gerade.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mi 07.11.2012 | | Autor: | iced |
Vielen Dank euch dreien! Hat mir sehr weitergeholfen 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Do 08.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Für den Induktionsschritt:
[mm] 2^{n+1}+3^{n+1}-5^{n+1}=2*2^n+3*3^n-5*5^n=5*2^n+5*3^n-5*5^n-3*2^n-2*3^n=5(2^n+3^n-5^n)-6(2^{n-1}+3^{n-1})
[/mm]
FRED
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