matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Differenzialrechnung > Induktionsbeweis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Differenzialrechnung" - Induktionsbeweis
Induktionsbeweis < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Induktionsbeweis: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Di 13.09.2005
Autor: Asuka_04

Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe eine Frage zur Vollständigen Induktion.
Die Aufgabe lautet "Gesucht ist eine Formel für die Berechnung der Summe der ersten n durch 4 teilbaren natürlichen Zahlen, d.h. 4+8+12+...+4n."
Da muss der Induktionsbeweis durch geführt werden.

Folgende Tabelle habe ich mir als erstes gemacht:

n       1     2      3    4    5   n
a(n)    4     8     12   16   20   4n
s(n)    4    12     24   40   60  

Nur durch ewiges Probieren bin ich auf die Summenformel: 2n(n+1) gekommen. Gibt es einen Weg, wie man durch rechnen auf diese Formel kommt?

Dann würde ich gerne noch wissen, ob diese Schritte richtig sind, und ob das Ergebnis auch korrekt ist, da ich mir unsicher bin.

[Induktionsanfang:] A (n=1)
s(1) = 4 = 2*n(n+1) = 2*1 (1+1) = 4  w.A.

[Induktionsvorraussetzung:] A(n=k)
s(k) = 4 + 8 + 12 + ... + 4k = 2k(k+1)   sei wahr

[Induktionsbehauptung:] A (n=k+1)
s(k) = 4 + 8 + 12 + ...+4k + k+1 = 2k² + 3k + 1

[Induktionsbeweis:]
4 + 8 + 12 + ... 4k = 2k (k+1)   | + (k+1)
       s(k) + k + 1 = 2k² + 3k + 1
      2k(k+1) + k+1 = 2k² + 3k + 1
       2k² + 3k + 1 = 2k² + 3k + 1   was zu beweisen war (w.z.b.w.)


        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Di 13.09.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Der Induktionsbeweis ist nicht ganz in Ordnung, darauf kann ja noch mal jemand eingehen (mir fehlt die Zeit). Ich möchte nur deine andere Frage beantworten:

> Nur durch ewiges Probieren bin ich auf die Summenformel:
> 2n(n+1) gekommen. Gibt es einen Weg, wie man durch rechnen
> auf diese Formel kommt?

Ja, klar, wenn man die Summenformel

[mm] $1+2+\ldots [/mm] + n = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$ [/mm]

kennt. Dann folgt nämlich:

$4+8+ [mm] \ldots [/mm] + 4n = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] 4i = 4 [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] = 4 [mm] \cdot \frac{n(n+1)}{2} [/mm] = 2n(n+1)$.

Liebe Grüße
Stefan
  
Bezug
        
Bezug
Induktionsbeweis: zum Induktionsbeweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 13.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Asuka,


[willkommenmr] !!


> [Induktionsanfang:] A (n=1)
> s(1) = 4 = 2*n(n+1) = 2*1 (1+1) = 4  w.A.

[ok]

  
> [Induktionsvorraussetzung:] A(n=k)
> s(k) = 4 + 8 + 12 + ... + 4k = 2k(k+1)   sei wahr

[ok]

  
> [Induktionsbehauptung:] A (n=k+1)
> s(k) = 4 + 8 + 12 + ...+4k + k+1 = 2k² + 3k + 1

[notok]

Hier muss es heißen:

[mm] $s(k\red{+1}) [/mm] \ = \ 4 + 8 + 12 + ... + 4k + [mm] \red{4}*(k+1) [/mm] \ = \ 2*(k+1)*(k+2)$



> [Induktionsbeweis:]
>  4 + 8 + 12 + ... 4k = 2k (k+1)   | + (k+1)
>         s(k) + k + 1 = 2k² + 3k + 1
>        2k(k+1) + k+1 = 2k² + 3k + 1
>         2k² + 3k + 1 = 2k² + 3k + 1

[notok] Hier musst du auch anders vorgehen:

$s(k+1) \ = \ [mm] \blue{4 + 8 + 12 + ... + 4k} [/mm] + [mm] \green{4*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{s(k)} [/mm] + [mm] \green{4*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{2k*(k+1)} [/mm] + [mm] \green{4*(k+1)} [/mm] \ = \ ...$

Wenn Du nun mal $(k+1)_$ ausklammerst, hast Du auch bald Dein gewünschtes Ergebnis mit $... \ = \ 2*(k+1)*(k+2)$ .


Gruß
Loddar

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]