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| Aufgabe | für n= 0,1,... gilt:
(1+x) [mm] \* (1+x^2) \*(1+x^4)....(1+x^{2^{n}}) [/mm] = [mm] (1-{x^{2^{n+2}}}/{1-x}) [/mm] |
ich fühl mich sehr unsicher und möchte gern fragen ob der Ansatz, folgendes zu beweisen richtig ist:
[mm] (1+x^{2^{n}}) \* (1+x^{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] (1-{x^{2^{n+1}}}/{1-x})
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 So 16.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
kleine Bitte/kleiner Tipp: Benutze doch den Formeleditor mal.
> für n= 0,1,... gilt:
>
> (1+x) [mm]\* (1+x^2) \*(1+x^4)....(1+x^{2^{n}})[/mm] =
> [mm](1-{x^{2^{n+2}}}/{1-x})[/mm]
> ich fühl mich sehr unsicher und möchte gern fragen ob
> der Ansatz, folgendes zu beweisen richtig ist:
>
>
> [mm](1+x^{2^{n}}) \* (1+x^{2^{n+1}})[/mm] =
> [mm](1-{x^{2^{n+1}}}/{1-x})[/mm]
Die linke Seite stimmt nicht ganz:
[mm](1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)*\ldots*(1+x^{2^{n}})=\produkt_{i=0}^{n} (1+x^{2^{n}})[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
barsch
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also steht auf der linken seite beim beweis nur:
[mm] (1+x^{2^{n+1}}) [/mm]
?
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Hallo Evelyn,
> also steht auf der linken seite beim beweis nur:
>
> [mm](1+x^{2^{n+1}})[/mm]
>
> ?
Ich habe keine Ahnung, wovon Du redest. Kannst Du mal etwas größere Teile Deines Beweisansatzes einstellen?
Im übrigen gibt es noch einen Fehler in der zu zeigenden Behauptung!
Dazu antworte ich aber lieber nochmal auf die Eingangsfrage.
Grüße
reverend
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oh gott tut mir leid du hast natürlich recht ein tippfehler :/
$ [mm] (1+x)\cdot{}(1+x^2)\cdot{}(1+x^4)\cdot{}\cdots\cdot{}(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^{n\blue{+1}}}}{1-x} [/mm] $
ist die ausgangsgleichung. für n = 0 hab ich den anfang bestätigt. ist dann dies hier zu beweisen der nächste schritt? :
[mm] (1+{x^{2^{n}}})(1+x^{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] (1-x^{2^{n+2}}) [/mm] / (1-x)
oder nur
[mm] (1+x^{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] (1-x^{2^{n+2}}) [/mm] / (1-x)
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Hallo EvelynSnowley2311,
> oh gott tut mir leid du hast natürlich recht ein
> tippfehler :/
>
> [mm](1+x)\cdot{}(1+x^2)\cdot{}(1+x^4)\cdot{}\cdots\cdot{}(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^{n\blue{+1}}}}{1-x}[/mm]
> ist die ausgangsgleichung. für n = 0 hab ich den anfang
> bestätigt. ist dann dies hier zu beweisen der nächste
> schritt? :
>
> [mm](1+{x^{2^{n}}})(1+x^{2^{n+1}})[/mm] = [mm](1-x^{2^{n+2}})[/mm] / (1-x)
>
Im nächsten Schritt ist zu beweisen, daß
[mm](1+x)\cdot{}(1+x^2)\cdot{}(1+x^4)\cdot{}\cdots\cdot{}(1+x^{2^n})*\blue{\left(1+x^{2^{n+1}}\right)}=\bruch{1-x^{2^{\blue{n+2}}}}{1-x}[/mm]
gilt.
> oder nur
>
> [mm](1+x^{2^{n+1}})[/mm] = [mm](1-x^{2^{n+2}})[/mm] / (1-x)
Gruss
MathePower
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kann ich links das nich irgendwie zusammenfassen? sonst wäre es ja prinzipiell mit den ..... dazwischen nicht auf diese weise rechenbar oder? Wäre lieb wenn du mir den ersten Schritt zeigen könntest wie ich das umforme :/
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Hallo EvelynSnowley2311,
> kann ich links das nich irgendwie zusammenfassen? sonst
> wäre es ja prinzipiell mit den ..... dazwischen nicht auf
> diese weise rechenbar oder? Wäre lieb wenn du mir den
> ersten Schritt zeigen könntest wie ich das umforme :/
Die linke Seite ist nicht ausrechnen.
Zu beweisen ist doch nur die rechte Seite:
[mm]\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} * \left(1+x^{2^{n+1}}\right)[/mm]
Hier die etwas kürzere Schreibweise der linken Seite:
[mm]\produkt_{k=1}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right)*\left(1+x^{2^{n+1}}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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ah okay das verstehe ich. Nun, nach ein bisschen Rumgerechne habe ich folgende Gleichung:
[mm] -x^{2^{n+1}} \* -x^{2^{n+1}} [/mm] = [mm] -x^{2^{n+2}}
[/mm]
bin nicht gut mit 2 exponenten ^^ Ist das das Gleiche auf beiden Seiten?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> ah okay das verstehe ich. Nun, nach ein bisschen
> Rumgerechne habe ich folgende Gleichung:
>
> [mm]-x^{2^{n+1}} \* -x^{2^{n+1}}[/mm] = [mm]-x^{2^{n+2}}[/mm]
>
Hier muß doch stehen:
[mm]-x^{2^{n+1}} \* \blue{+}x^{2^{n+1}} = -x^{2^{n+2}}[/mm]
> bin nicht gut mit 2 exponenten ^^ Ist das das Gleiche auf
> beiden Seiten?
Ja, da sich die Exponenten gleicher Basen bei Multiplikation addieren.
Gruss
MathePower
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Gott tausend dank, ich habs jetzt geschafft. Alles verstanden und nachvollzogen. Vielen Dank für deine Mühe :)
LG
Evelyn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 So 16.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
> > kann ich links das nich irgendwie zusammenfassen? sonst
> > wäre es ja prinzipiell mit den ..... dazwischen nicht auf
> > diese weise rechenbar oder? Wäre lieb wenn du mir den
> > ersten Schritt zeigen könntest wie ich das umforme :/
>
>
> Die linke Seite ist nicht ausrechnen.
Doch, das geht hier sogar ganz gut.
> Hier die etwas kürzere Schreibweise der linken Seite:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right)*\left(1+x^{2^{n+1}}\right)[/mm]
Ich beschränke mich auf das Produkt [mm] \produkt_{k=\blue{0}}^{n}\left(1+x^{2^k}\right)
[/mm]
Jede Klammer enthält zwei Summanden, nach dem Ausmultiplizieren werden wir also [mm] 2^{n+1} [/mm] Summanden haben, von denen vielleicht noch einige zusammenzufassen sein könnten. Die niedrigste Potenz von x, die vorkommt, ist die 1, also [mm] x^0. [/mm] Die höchste Potenz ist [mm] \summe_{k=1}^{n}2^k=2^{n+1}-1.
[/mm]
Wie sich zeigt, ist jede Potenz dazwischen vertreten. Ihre Binärdarstellung verrät uns, welcher Summand aus welcher Klammer in der Multiplikation vorkam. So haben wir also alle [mm] 2^{n+1} [/mm] Potenzen von Null bis [mm] 2^{n+1}-1.
[/mm]
Also ist [mm] \produkt_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^k}\right)=\summe_{i=0}^{2^{n+1}-1}x^i=\bruch{x^{2^{n+1}}-1}{x-1}
[/mm]
Grüße
reverend
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Hallo Evelyn,
> für n= 0,1,... gilt:
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> (1+x) [mm]\* (1+x^2) \*(1+x^4)....(1+x^{2^{n}})[/mm] =
> [mm](1-{x^{2^{n+2}}}/{1-x})[/mm]
Da fehlen zwei Klammern auf der rechten Seite der Gleichung.
Aber sie stimmt auch dann nicht.
Für n=0 hieße das ja [mm] (1+x)=\bruch{1-x^4}{1-x}=1+x+x^2+x^3
[/mm]
Für n=1 hieße es [mm] (1+x)(1+x^2)=\bruch{1-x^8}{1-x}; [/mm] auch falsch (außer für x=0).
Die zu zeigende Behauptung heißt sicher:
[mm] (1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)*\cdots*(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^{n\blue{+1}}}}{1-x}
[/mm]
Beachte den veränderten Exponenten auf der rechten Seite.
> ich fühl mich sehr unsicher und möchte gern fragen ob
> der Ansatz, folgendes zu beweisen richtig ist:
>
>
> [mm](1+x^{2^{n}}) \* (1+x^{2^{n+1}})[/mm] =
> [mm](1-{x^{2^{n+1}}}/{1-x})[/mm]
Was soll dieser Ansatz denn besagen?
Wenn ich recht verstanden habe, übst Du doch gerade vollständige Induktion. Damit ist die Behauptung auch gut zu zeigen - obwohl es sogar ohne geht.
Also wie immer: erst mal einen Induktionsanfang machen, erst danach den Induktionsschritt von n auf n+1.
Der ist hier nicht so schwierig.
Grüße
reverend
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