Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IN_{0} [/mm] sei
[mm] (x)_{k} [/mm] := [mm] \produkt_{j=1}^{k} [/mm] (x-j+1) und [mm] \vektor{x \\ k} [/mm] := [mm] \bruch{(x)_{k}}{k!}.
[/mm]
Zeigen Sie für alle x,y [mm] \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] :
[mm] (x+y)_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}. [/mm] |
So, ich will das ganze mittels vollständiger Induktion beweisen.
IA ist klar.
Nur beim IS häng ich bzw weiß nicht ob das so richtig ist:
[mm] (x+y)_{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} [/mm] (x-j+1) = [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] (x-j+1) = [mm] (x+y)_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}
[/mm]
Also zur Erklärung:
Der erste Schritt ist erlaubt nach Vorgabe.
Der zweite Schritt da allgemein gilt: [mm] \produkt_{k=n}^{m} a_{k} [/mm] := 1 für m<n
Der dritte Schritt gilt nach Vorgabe
Der vierte Schritt gilt nach IV
Der fünfte Schritt gilt weil allgemein gilt: [mm] \summe_{k=n}^{m} [/mm] a:{k} := 0 für m<n
Somit ist der Beweis erbracht.
Richtig oder humbuck?
Wenn humbuck dann bitte um Hilfe!!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für x [mm]\in \IR[/mm] und k [mm]\in \IN_{0}[/mm] sei
> [mm](x)_{k}[/mm] := [mm]\produkt_{j=1}^{k}[/mm] (x-j+1) und [mm]\vektor{x \\ k}[/mm]
> := [mm]\bruch{(x)_{k}}{k!}.[/mm]
> Zeigen Sie für alle x,y [mm]\in \IR,[/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm] :
>
> [mm](x+y)_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}.[/mm]
>
> So, ich will das ganze mittels vollständiger Induktion
> beweisen.
> IA ist klar.
> Nur beim IS häng ich bzw weiß nicht ob das so richtig
> ist:
>
> [mm](x+y)_{n+1}[/mm] = [mm]\produkt_{j=1}^{n+1}[/mm] (x-j+1) =
> [mm]\produkt_{j=1}^{n}[/mm] (x-j+1) = [mm](x+y)_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}[/mm]
>
> Also zur Erklärung:
> Der erste Schritt ist erlaubt nach Vorgabe.
> Der zweite Schritt da allgemein gilt: [mm]\produkt_{k=n}^{m} a_{k}[/mm]
> := 1 für m<n
> Der dritte Schritt gilt nach Vorgabe
> Der vierte Schritt gilt nach IV
> Der fünfte Schritt gilt weil allgemein gilt:
> [mm]\summe_{k=n}^{m}[/mm] a:{k} := 0 für m<n
>
> Somit ist der Beweis erbracht.
> Richtig oder humbuck?
Humbug !!
> Wenn humbuck dann bitte um Hilfe!!
1. Schritt: $ [mm] (x+y)_{n+1} [/mm] $ [mm] \ne [/mm] $ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} [/mm] $ (x-j+1), sondern:
$ [mm] (x+y)_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} [/mm] $ (x+y-j+1)
2. Schritt:
"$ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} [/mm] $ (x-j+1) = $ [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] $ (x-j+1)"
Das ist völliger Quark !!
3. Schritt: $ [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] $ (x-j+1) [mm] \ne [/mm] $ [mm] (x+y)_{n} [/mm] $, sondern
$ [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] $ (x-j+1) = $ [mm] (x)_{n} [/mm] $
4. Schritt:
" $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ k}\cdot{}(x)_{k}\cdot{}(y)_{n-k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{x \\ k}\cdot{}(x)_{k}\cdot{}(y)_{n-k} [/mm] $"
ist ebenfalls hinten und vorne nicht richtig
FRED
>
> Viele Grüße
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Calculu |
Oh, man. War ein Schreibfehler. Natürlich muss es (x+y) heißen.
Also so:
[mm] (x+y)_{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} [/mm] ((x+y)-j+1) = [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] ((x+y)-j+1) = [mm] (x+y)_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}
[/mm]
Also zur Erklärung:
Der erste Schritt ist erlaubt nach Vorgabe.
Der zweite Schritt da allgemein gilt: [mm] \produkt_{k=n}^{m} a_{k} [/mm] := 1 für m<n
Der dritte Schritt gilt nach Vorgabe
Der vierte Schritt gilt nach IV
Der fünfte Schritt gilt weil allgemein gilt: [mm] \summe_{k=n}^{m} [/mm] a:{k} := 0 für m<n
Aber es scheint ja so immer noch nicht zu stimmen. Es wär sehr nett wenn du mir hinschreiben könntest wieso es nicht stimmt bzw. wenn du mir einen Tipp geben könntest.
Mal ne Frage:
Ich kann ja folgendes so auseinanderziehen:
[mm] \produkt_{j=1}^{n+1} [/mm] ((x+y)-j+1) = [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] ((x+y)-j+1) * ((x+y)-(n+1)+1) richtig?
Also wäre:
[mm] \produkt_{j=1}^{n+1} [/mm] ((x+y)-j+1) = [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] ((x+y)-j+1) * ((x+y)-n)
Wenn ich dann n=0 einsetze steht das ganze so da:
[mm] \produkt_{j=1}^{0} [/mm] ((x+y)-j+1) * ((x+y)-n)
Wird dann nur
[mm] \produkt_{j=1}^{0} [/mm] ((x+y)-j+1) = 1
oder gilt:
[mm] \produkt_{j=1}^{0} [/mm] ((x+y)-j+1) * ((x+y)-n) = 1 ????
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo!
> Also so:
>
> [mm](x+y)_{n+1}[/mm] = [mm]\produkt_{j=1}^{n+1}[/mm] ((x+y)-j+1) =
> [mm]\produkt_{j=1}^{n}[/mm] ((x+y)-j+1) = [mm](x+y)_{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{x \\ k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}[/mm]
>
> Also zur Erklärung:
> Der erste Schritt ist erlaubt nach Vorgabe.
> Der zweite Schritt da allgemein gilt: [mm]\produkt_{k=n}^{m} a_{k}[/mm]
> := 1 für m<n
> Der dritte Schritt gilt nach Vorgabe
> Der vierte Schritt gilt nach IV
> Der fünfte Schritt gilt weil allgemein gilt:
> [mm]\summe_{k=n}^{m}[/mm] a:{k} := 0 für m<n
> Aber es scheint ja so immer noch nicht zu stimmen.
Leider.... In Schritt 1 und in Schritt 5 müsste dir doch klar sein, dass das stimmen KANN? Du entfernst einfach einen Faktor...
> Mal ne Frage:
> Ich kann ja folgendes so auseinanderziehen:
>
> [mm]\produkt_{j=1}^{n+1}[/mm] ((x+y)-j+1) = [mm]\produkt_{j=1}^{n}[/mm]
> ((x+y)-j+1) * ((x+y)-(n+1)+1) richtig?
Ja, besser wäre es aber, du würdest den zweiten Faktor vor und nicht hinter das Produkt schreiben!
> Also wäre:
> [mm]\produkt_{j=1}^{n+1}[/mm] ((x+y)-j+1) = [mm]\produkt_{j=1}^{n}[/mm]
> ((x+y)-j+1) * ((x+y)-n)
Ja.
> Wenn ich dann n=0 einsetze steht das ganze so da:
> [mm]\produkt_{j=1}^{0}[/mm] ((x+y)-j+1) * ((x+y)-n)
> Wird dann nur
>
> [mm]\produkt_{j=1}^{0}[/mm] ((x+y)-j+1) = 1
Ja.
> [mm]\produkt_{j=1}^{0}[/mm] ((x+y)-j+1) * ((x+y)-n) = 1 ????
Nein, wieso sollte es?
Dieses Produkt muss doch den Wert des Ausgangsprodukts [mm] \produkt_{j=1}^{n+1}[/mm] [/mm] ((x+y)-j+1) annehmen und somit (x+y).
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Zum Beweis: Schreibe zuerst:
[mm] $(x+y)_{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n+1}(x+y-j+1) [/mm] = [mm] (x+y-n)*\produkt_{j=1}^{n}(x+y-j+1)$
[/mm]
(Das ist jetzt klar oder? Also nicht einfach nur das Produkt bis "n" hinschreiben, du musst natürlich den Faktor für "j = n+1" dann davor schreiben!)
$= [mm] (x+y-n)*(x+y)_{n}$
[/mm]
Nun die Induktionsvoraussetzung anwenden!
$= [mm] (x+y-n)*\sum_{k=0}^{n}\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=0}^{n}(x+y-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}$
[/mm]
Nun ist es nicht ganz so einfach. Du musst jetzt das Ziel vor Augen haben: Wir wollen irgendwann " = [mm] $\sum_{k=0}^{n+1}\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n+1-k}$ [/mm] " da stehen haben.
Als nächstes würde ich versuchen, folgendes zu machen: Für k = 0,...,n ist
[mm] $(x+y-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] = [mm] ((x-k)+(y-k-n))*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] = [mm] (x-k)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] + [mm] (y-k-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}$
[/mm]
Nun mache aus dem ersten Summanden [mm] $\vektor{x\\k}*(x)_{k+1}*(y)_{n-k}$ [/mm] und aus dem zweiten [mm] $\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n+1-k}$. [/mm] Insgesamt können wir also schreiben:
$= [mm] \left(\sum_{k=0}^{n}\vektor{x\\k}*(x)_{k+1}*(y)_{n-k}\right) [/mm] + [mm] \left(\sum_{k=0}^{n}\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n+1-k}\right) [/mm] $
Versuche, damit weiterzukommen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Calculu |
Als nächstes würde ich versuchen, folgendes zu machen: Für k = 0,...,n ist
[mm] $(x+y-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] = [mm] ((x-k)+(y-k-n))*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] = [mm] (x-k)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] + [mm] (y-k-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}$ [/mm]
----> müsste es nicht so heißen: [mm] $(x+y-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} [/mm] = ((x-k)+(y + [mm] k-n))*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}.....
[/mm]
Nun mache aus dem ersten Summanden [mm] $\vektor{x\\k}*(x)_{k+1}*(y)_{n-k}$ [/mm] und aus dem zweiten [mm] $\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n+1-k}$. [/mm] Insgesamt können wir also schreiben:
$= [mm] \left(\sum_{k=0}^{n}\vektor{x\\k}*(x)_{k+1}*(y)_{n-k}\right) [/mm] + [mm] \left(\sum_{k=0}^{n}\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n+1-k}\right) [/mm] $
Versuche, damit weiterzukommen.
Grüße,
Stefan
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Hallo!
> Als nächstes würde ich versuchen, folgendes zu machen:
> Für k = 0,...,n ist
>
> [mm](x+y-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} = ((x-k)+(y-k-n))*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} = (x-k)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k} + (y-k-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}[/mm]
>
>
> ----> müsste es nicht so heißen:
> [mm]$(x+y-n)*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}[/mm] = ((x-k)+(y +
> [mm]k-n))*\vektor{x\\k}*(x)_{k}*(y)_{n-k}.....[/mm]
Ja, ich habe mich verschrieben.
Bitte verwende in Zukunft den "Zitieren"-Button, damit man erkennt, was der Vorredner und was du geschrieben hast.
Grüße,
Stefan
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