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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:26 Di 09.02.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Es sei [mm] a_0=2, a_1=5
[/mm]
Für [mm] n\ge2 [/mm] sei [mm] a_n=5*a_{n-1}-6*a_{n-2}
[/mm]
Beweisen Sie: [mm] a_n=2^n+3^n [/mm] |
Huhu, ich wiederhole gerade Aufgaben für die kommende Klausur und bin mir hier sehr unsicher.
Ich weiß garnicht genau, was meine Voraussetzung ist.
[mm] a_2=5*5-6*2=25-12=13 [/mm] != [mm] 2^2+3^2=4+9=13, [/mm] passt.
meine Behauptung für den Induktionsschritt wäre doch dann
[mm] a_{n+1}=2^{n+1}+3^{n+1}
[/mm]
Aber wie baue ich die anderen Angaben ein?
Hoffe ihr könnt mir da auf die Sprünge helfen.
Gehe ich denn Grundsätzlich andere Aufgaben richtig an:
für [mm] n\ge1 [/mm] gilt:
Voraussetzung: [mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Induktionsanfang:
n=1, [mm] 1\ge3/2-1/2=1, [/mm] passt.
Induktionsschritt:
n=n+1
Behauptung: [mm] \summe_{k=1}^{n+1}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}
[/mm]
Beweis: [mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2+\bruch{1}{(n+1)^2} \overbrace{\ge}^{n.V.} \bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)^2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)^2} \overbrace{\ge}^{Beh.} \bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}
[/mm]
[mm] \gdw n(n+2)\le(n+1)^2 \gdw 0\le1, [/mm] passt auch
Ist das so okay, oder ist etwas (auch formal) falsch?
Noch ne Frage, was mache ich eigentlich, wenn ich nicht gegen meine Behauptung abschätzen kann, es gibt doch bestimmt Fälle, wo das nicht so einfach möglich ist, oder?
Danke & schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:50 Di 09.02.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo kappen,
> Es sei [mm]a_0=2, a_1=5[/mm]
>
> Für [mm]n\ge2[/mm] sei [mm]a_n=5*a_{n-1}-6*a_{n-2}[/mm]
>
> Beweisen Sie: [mm]a_n=2^n+3^n[/mm]
> Huhu, ich wiederhole gerade Aufgaben für die kommende
> Klausur und bin mir hier sehr unsicher.
>
> Ich weiß garnicht genau, was meine Voraussetzung ist.
Deine Voraussetzung ist: Seien [mm] $a_0=2, a_1=5$. [/mm] Für [mm] $n\ge [/mm] 2$ sei [mm] $a_n:=5a_{n-1}-6a_{n-2}$.
[/mm]
Die Behauptung ist: Es gilt (für [mm] $n\ge [/mm] 2$): [mm] $a_n=2^n+3^n$.
[/mm]
> [mm]a_2=5*5-6*2=25-12=13[/mm] != [mm]2^2+3^2=4+9=13,[/mm] passt.
Nun, zunächst fehlt die Induktionsvoraussetzung. Da ist zwar nichts zu zeigen oder rechnen, aber sie gehört einfach zu diesem Beweisprinzip dazu und wenn du es nicht hinschreibst, können dir je nach Dozent schon Punkte abgezogen werden.
Also, sei die Behauptung für alle Zahlen [mm] $\le [/mm] n$ bereits gezeigt.
> meine Behauptung für den Induktionsschritt wäre doch
> dann
> [mm]a_{n+1}=2^{n+1}+3^{n+1}[/mm]
Ja, das musst du zeigen.
> Aber wie baue ich die anderen Angaben ein?
>
> Hoffe ihr könnt mir da auf die Sprünge helfen.
Schreibe zunächst [mm] $a_{n+1}$ [/mm] gemäß Voraussetzung um: [mm] $a_{n+1}=5a_n-6a_{n-1}$ [/mm] (Das dafst du, weil die [mm] $a_i$ [/mm] ja so definiert sind.)
Da die Behauptung nach Induktionsvoraussetzung für alle Zahlen [mm] $\le [/mm] n$ gilt, kannst du [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $a_{n-1}$ [/mm] umschreiben:
[mm] $a_{n+1}=5(2^n+3^n)-6(2^{n-1}+3^{n-1})=\ldots$
[/mm]
> Gehe ich denn Grundsätzlich andere Aufgaben richtig an:
>
> für [mm]n\ge1[/mm] gilt:
> Voraussetzung:
Nein, das ist die Behauptung!
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Induktionsanfang:
>
> n=1, [mm]1\ge3/2-1/2=1,[/mm] passt.
Hier fehlt wieder die Induktionsvoraussetzung.
> Induktionsschritt:
> n=n+1
> Behauptung:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}[/mm]
> Beweis: [mm]\summe_{k=1}^{n}1/k^2+\bruch{1}{(n+1)^2} \overbrace{\ge}^{n.V.} \bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)^2} \overbrace{\ge}^{Beh.} \bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}[/mm]
>
> [mm]\gdw n(n+2)\le(n+1)^2 \gdw 0\le1,[/mm] passt auch
>
> Ist das so okay, oder ist etwas (auch formal) falsch?
Ja, das stimmt schon. Das "n.V." (=nach Voraussetzung) sollte aber "nach Induktionsvoraussetzung" heißen, deine "Voraussetzung" ist ja die Behauptung, die du zeigen sollst.
Zum Formalen: ich würde das so schreiben:
[mm] $\sum_{k}^{n+1}\frac{1}{k^2}=\sum_k^n\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\stackrel{IV}{\ge}\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{3}{2}-\frac{(n+1)-1}{(n+1)^2}=\frac{3}{2}-\frac{n}{(n+1)^2}$
[/mm]
Da für [mm] $n\ge [/mm] 1$ gilt [mm] $n^2+2n\le n^2+2n+1 [/mm] \ [mm] \Leftrightarrow\ n(n+2)\le (n+1)^2\ \Leftrightarrow\ \frac{n}{(n+1)^2}\le\frac{1}{n+2}$, [/mm] folgt
[mm] $\sum_k^{n+1}\frac{1}{k^2}\ge \frac{3}{2}-\frac{1}{n+2}$
[/mm]
> Noch ne Frage, was mache ich eigentlich, wenn ich nicht
> gegen meine Behauptung abschätzen kann, es gibt doch
> bestimmt Fälle, wo das nicht so einfach möglich ist,
> oder?
Wenn explizit gefordert ist, dass du etwas mit Induktion beweisen sollst, musst du halt rumprobieren. Da gibt es kein Patentrezept. Oft helfen dir aber (Un-)Gleichungen aus dem Skript.
Es gibt aber auch Aufgaben, die per Induktion gar nicht zu beweisen sind. Da musst du dir dann ein anderes Beweisprinzip suchen (Widerspruchsbeweis, direkter Beweis, Gegenbeispiel finden, etc.).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Di 09.02.2010 | | Autor: | kappen |
Herzlichen Dank:)
Die 1. werde ich jetzt dann rechnen. Aber zum 2. habe ich Fragen, wenn ich die Voraussetzung mit der Behauptung verwechsle.
Was ist denn dann meine Voraussetzung, wenn du sagst, dass meine Behauptung [mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1} [/mm] ist? Ich bin mir sehr sicher, dass wir eben das Voraussetzung genannt haben, weil das (bzw. die rechte Seite) benutzt wird um den Induktionsschritt zu beweisen?
Klar ist Voraussetzung, dass [mm] n\ge2 [/mm] sein muss, oder unterscheidest du Induktionsvoraussetzung und Voraussetzung, entspricht also die Induktionsvoraussetzung der Behaptung hier?! Oo
Danke für die Hilfe
edit:
die 1. war ja dann nur noch umformen, ausklammern, bis dann
[mm] 2^{n-1}*4+3^{n-1}*9 \gdw 2^2*2^{n-1}+3^2*3^{n-1} \gdw 2^{n+1}+3^{n+1}
[/mm]
da stand. Und das war zu beweisen für n=n+1
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Hallo Kappen,
> Herzlichen Dank:)
>
> Die 1. werde ich jetzt dann rechnen. Aber zum 2. habe ich
> Fragen, wenn ich die Voraussetzung mit der Behauptung
> verwechsle.
>
> Was ist denn dann meine Voraussetzung, wenn du sagst, dass
> meine Behauptung
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}[/mm] ist?
> Ich bin mir sehr sicher, dass wir eben das Voraussetzung
> genannt haben, weil das (bzw. die rechte Seite) benutzt
> wird um den Induktionsschritt zu beweisen?
Ja, das ist die Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelte [mm] $\summe_{k=1}^{n}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}$
[/mm]
Und unter Annahme der Gültigkeit dieser Induktionsvoraussetzung ist nun die (Induktions-)Behauptung, dass die Aussage auch für $n+1$ gilt, dass also
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}1/k^2\ge\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}$ [/mm] ist, zu zeigen.
Das ist im eigentlichen Induktionsbeweis zu zeigen (unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung)
Der Beweis dazu steht ja oben ...
Linke Seite der zu zeigenden Beh. hernehmen und mithilfe der IV solange umformen, bis die rechte Seite der zu zeigenden Beh. dasteht.
>
> Klar ist Voraussetzung, dass [mm]n\ge2[/mm] sein muss, oder
> unterscheidest du Induktionsvoraussetzung und
> Voraussetzung, entspricht also die Induktionsvoraussetzung
> der Behaptung hier?! Oo
>
> Danke für die Hilfe
>
> edit:
>
> die 1. war ja dann nur noch umformen, ausklammern, bis
> dann
>
> [mm] $2^{n-1}*4+3^{n-1}*9 \blue{\gdw} 2^2*2^{n-1}+3^2*3^{n-1} \blue{\gdw} 2^{n+1}+3^{n+1}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da muss doch [mm] \blue{=} [/mm] stehen!
Was soll eine Äquivalenz zwischen Termen bedeuten??
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> da stand. Und das war zu beweisen für [mm] n\red{=}n+1
[/mm]
Wie kann je im Leben [mm] $n\red{=}n+1$ [/mm] sein??
Du meinst, das war im Schritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ zu zeigen.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Di 09.02.2010 | | Autor: | kappen |
Ahh, klar sind das keine Äquivalenzen, auch n ist auch nicht gleich n+1, danke..
Danke für die Aufklärung bzgl der Begriffen :)
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