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| Aufgabe | Für welche n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] \bruch{9}{4}n^n\le [/mm] (n + [mm] 1)^n [/mm] ? |
also es gilt schon mal ab 2. jetzt wollt ich induktion machen. n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] (n+2)^{n+1}=(n+2)^n*(n+2)
[/mm]
...da [mm] (n+2)^n [/mm] dort steht, darf ich ja nicht die induktionsvorraussetzung anwenden. was kann ich tun? [mm] (n+2)^n [/mm] so "zerlegen" das [mm] (n+1)^n.... [/mm] rauskommt, oder muss ich abschätzen oder sowas?
vll hilft aber auch
[mm] (n+2)^n*(n+2)\ge(n [/mm] + [mm] 1)^n*(n+2)\gebruch{9}{4}n^n*(n+2)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\bruch{9}{4}n^n\le[/mm] (n + [mm]1)^n[/mm] ?
> also es gilt schon mal ab 2. jetzt wollt ich induktion
> machen. n [mm]\to[/mm] n+1:
> [mm](n+2)^{n+1}=(n+2)^n*(n+2)[/mm]
> ...da [mm](n+2)^n[/mm] dort steht, darf ich ja nicht die
> induktionsvorraussetzung anwenden. was kann ich tun?
> [mm](n+2)^n[/mm] so "zerlegen" das [mm](n+1)^n....[/mm] rauskommt, oder muss
> ich abschätzen oder sowas?
>
> vll hilft aber auch
> [mm](n+2)^n*(n+2)\ge(n[/mm] + [mm]1)^n*(n+2)\gebruch{9}{4}n^n*(n+2)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich möchte dir empfehlen, die Ungleichung von
Anfang an etwas umzuformen. Wenn du gleich
zu Beginn beide Seiten durch [mm] n^n [/mm] dividierst, hast
du nur noch eine Potenz in der Rechnung und
kannst dich darauf konzentrieren, zu beweisen,
dass
[mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n \ge\ \bruch{9}{4}$
[/mm]
für alle [mm] n\in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2.
LG al-Chw.
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