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| Aufgabe | | Beweisen Sie dass für n [mm] \varepsilon \IN [/mm] gilt : [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] 1/j*(j+1) = 1 - 1/n+1 . |
wie kann man beweisen, dass die aussagen äquivalent zu einander sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 So 02.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Schreibe [mm] $\frac{1}{j(j+1)}=\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}$ [/mm] und schon heben sich alle Summanden bis auf den ersten und letzen weg ("Teleskopsumme").
Gruß, Robert
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mir ist nicht klar, wie du von 1/j*(j+1) auf 1/j - 1/j+1 kommst... wo kommt denn das minus her?
aber vielen dank für die schnelle antwort, vlt kannst du mir auch hier helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 So 02.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Ja das ist Trick17. Überprüfe es doch einfach, indem du [mm] $\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}$ [/mm] mal ausrechnest - Hauptnenner bilden, erweitern, zusammenfassen...
Gruß, Robert
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Hallo Algebra_lover,
> mir ist nicht klar, wie du von 1/j*(j+1) auf 1/j - 1/j+1
> kommst... wo kommt denn das minus her?
Das ist eine Partialbruchzerlegung: [mm] $\frac{1}{j(j+1)}=\frac{A}{j}+\frac{B}{j+1}$
[/mm]
Mache rechterhand gleichnamig, sortiere dann den Zähler nach Potenzen von j und mache nen Koeffizientenvergleich mit der linken Seite ...
Alternativ (und da dein post die Überschrift Induktion enthält), kannst du den Beweis antürlich auch per Induktion machen.
Im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ hast du
[mm] $\sum\limits_{j=1}^{n+1}\frac{1}{j(j+1)}=\left(\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{j(j+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
[/mm]
Einfach den letzten Summanden, also den für j=n+1 rausgezogen und separat hinten drangeschrieben
[mm] $=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung
Das ist nun in ein paar Schritten zusammengefasst zu [mm] $...=1-\frac{1}{n+2}$
[/mm]
>
> aber vielen dank für die schnelle antwort, vlt kannst du
> mir auch hier helfen.
LG
schachuzipus
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vielen dank für deine schnelle und besonderst gute antwort :)
aber du hälst mich sicher für verrückt... da mir ist nicht klar wie ich das umformen soll um auf die form =1-1/n+2 komme.
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Hallo nochmal,
> vielen dank für deine schnelle und besonderst gute antwort
Danke für die ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
> :)
> aber du hälst mich sicher für verrückt... da mir ist nicht
> klar wie ich das umformen soll um auf die form =1-1/n+2
> komme.
Hmm, Bruchrechnung?
Wir hatten doch [mm] $....=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
[/mm]
Hier kannst du doch den ersten Bruch mit [mm] $\blue{n+2}$ [/mm] erweitern und die beiden Brüche so gleichnamig machen
[mm] $=1-\frac{\blue{n+2}}{(n+1)(\blue{n+2})}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
[/mm]
Aufpassen mit der Minusklammer, nehmen wir das "-" zur Sicherheit in den Zähler ...
[mm] $=1+\frac{-n-2+1}{(n+1)(n+2)}=1+\frac{-n-1}{(n+1)(n+2)}$
[/mm]
Nun das "-" wieder raus aus dem Zähler, dann steht's schon fast da
LG
schachuzipus
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